AntVenom ha scritto: ↑28 giu 2017, 13:26
non ho capito perchè hai aggiunto (n+1)^2 così dal nulla.
Che ragionamento hai fatto?
Direi che ha fatto il ragionamento per induzione... Forse non ti è chiaro bene come funziona, quindi lasciami spiegare tutto con calma.
Sia $P(n)$ una proposizione riguardo un certo intero positivo $n$ che vogliamo sia vera per ogni $n$ intero positivo. Vogliamo mostrarlo per induzione. Come si fa? In due semplicissimi passaggi.
Passo 1, o passo base: si dimostra che $P(1)$ è vera. Di solito basta sostituire $n=1$ e verificare che sia vera la proposizione, come hai fatto tu.
Passo 2, o passo induttivo: supponendo per vera $P(n)$, mostriamo che è vera $P(n+1)$, cioè $P(n) \Rightarrow P(n+1)$. Per come si fa rimando a dopo, usando l'esempio che ti serve.
Combinando i due passaggi si ha che $P(1) \Rightarrow P(2) \Rightarrow P(3) \Rightarrow \dots$ all'infinito, perché per ogni valore di $n$ abbiamo, con il passo 2, che la veridicità della proposizione implica anche che rimane vera con $n+1$. Siccome per il passo 1 abbiamo che $P(1)$ è vera, allora sono vere anche tutte le successive per le implicazione mostrate sopra, quindi è vera per ogni intero positivo e siamo felici.
Prendiamo il tuo esempio. $P(n)$ è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Passo base: $P(1)$ è $\displaystyle 1^2=\frac{1(1+1)(2 \cdot 1+1)}{6}$, che è vera.
Passo induttivo: supponiamo vera $P(n)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Vogliamo vera $P(n+1)$, che è $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$. Facciamo un po' di passaggi:
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2$, ma ora abbiamo supposto per vera $P(n)$, quindi possiamo sostituire la somma dei primi $n$ quadrati e ottenere $\displaystyle (1^2+2^2+3^2+\dots+n^2)+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\\
\displaystyle \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)((2n^2+4n)+(3n+6))}{6}=\frac{(n+1)(2n(n+2)+3(n+2))}{6}= \\
\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$.
Concatenando tutte le uguaglianze abbiamo ottenuto che $\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}$, che è $P(n+1)$, questo supponendo per vera $P(n)$, quindi abbiamo mostrato che $P(n) \Rightarrow P(n+1)$, perciò anche il passo induttivo è stato dimostrato.
Per quanto detto sopra, questo prova che $P(n)$ è vera per ogni $n$ intero positivo, dove $P(n)$ è l'uguaglianze che volevi dimostrare, quindi abbiamo finito.