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Ancora un classico

Inviato: 21 giu 2017, 16:29
da nuoveolimpiadi1999
Siano $a,b,c$ numeri reali positivi, tali che: $$a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$$

Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{abc}. \]

Domanda bonus:
Si deve avere necessariamente che $abc\geq1$?

Re: Ancora un classico

Inviato: 25 giu 2017, 16:09
da Vinci
Non ho capito una cosa, ma "$abc\ge 1$" è nelle ipotesi?

Re: Ancora un classico

Inviato: 26 giu 2017, 11:40
da Talete
No, è tipo una seconda tesi. "Se $a+b+c\ge 1/a+1/b+1/c$, è necessariamente vero che $abc\ge1$?"

Re: Ancora un classico

Inviato: 29 giu 2017, 13:01
da Vinci
:roll: Qualche hint per me?

Re: Ancora un classico

Inviato: 29 giu 2017, 20:44
da Luke99
Il fatto che $ a+b+c\geq 1/a +1/b +1/c $ é sempre vero con $ a,b,c $ reali positivi per la disuguaglianza AM$ \geq $ HM.
Per dimostrare che $ a+b+c\geq \frac{3}{abc} $ notiamo subito che se facciamo tendere $ a,b,c $ a 0 la disuguaglianza non regge più. Ora moltiplicando tutto per abc otteniamo $ a^2bc +ab^2c +abc^2\geq 3 $ ma sappiamo che per AM, GM $ a^2bc+ab^2c+abc^2 \geq 3abc×{abc}^{1/3} $ ma $ abc ×{abc}^{1/3} $ é maggiore o uguale a 1 solo con $ abc\geq 1 $

Re: Ancora un classico

Inviato: 29 giu 2017, 21:07
da Veritasium
Luke99 ha scritto:
29 giu 2017, 20:44
Il fatto che $ a+b+c\geq 1/a +1/b +1/c $ é sempre vero con $ a,b,c $ reali positivi per la disuguaglianza AM$ \geq $ HM.
$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ ? :lol:

Re: Ancora un classico

Inviato: 29 giu 2017, 21:40
da Lasker
E anche, non è vero che $abc\geq 1$ (anche perché sennò sarebbe stato un grosso indizio su come fare la dimostrazione)
Testo nascosto:
$(8, 1/3, 1/3)$

Re: Ancora un classico

Inviato: 29 giu 2017, 23:28
da Luke99
Si tutte osservazioni giuste non sono bravo a fare le cose di fretta hahah ci riprovo domani magari