Ancora un classico
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Ancora un classico
Siano $a,b,c$ numeri reali positivi, tali che: $$a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$$
Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{abc}. \]
Domanda bonus:
Si deve avere necessariamente che $abc\geq1$?
Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{abc}. \]
Domanda bonus:
Si deve avere necessariamente che $abc\geq1$?
Re: Ancora un classico
Non ho capito una cosa, ma "$abc\ge 1$" è nelle ipotesi?
Re: Ancora un classico
No, è tipo una seconda tesi. "Se $a+b+c\ge 1/a+1/b+1/c$, è necessariamente vero che $abc\ge1$?"
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Ancora un classico
Il fatto che $ a+b+c\geq 1/a +1/b +1/c $ é sempre vero con $ a,b,c $ reali positivi per la disuguaglianza AM$ \geq $ HM.
Per dimostrare che $ a+b+c\geq \frac{3}{abc} $ notiamo subito che se facciamo tendere $ a,b,c $ a 0 la disuguaglianza non regge più. Ora moltiplicando tutto per abc otteniamo $ a^2bc +ab^2c +abc^2\geq 3 $ ma sappiamo che per AM, GM $ a^2bc+ab^2c+abc^2 \geq 3abc×{abc}^{1/3} $ ma $ abc ×{abc}^{1/3} $ é maggiore o uguale a 1 solo con $ abc\geq 1 $
Per dimostrare che $ a+b+c\geq \frac{3}{abc} $ notiamo subito che se facciamo tendere $ a,b,c $ a 0 la disuguaglianza non regge più. Ora moltiplicando tutto per abc otteniamo $ a^2bc +ab^2c +abc^2\geq 3 $ ma sappiamo che per AM, GM $ a^2bc+ab^2c+abc^2 \geq 3abc×{abc}^{1/3} $ ma $ abc ×{abc}^{1/3} $ é maggiore o uguale a 1 solo con $ abc\geq 1 $
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Re: Ancora un classico
E anche, non è vero che $abc\geq 1$ (anche perché sennò sarebbe stato un grosso indizio su come fare la dimostrazione)
Testo nascosto:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)
"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)
Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?
PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!
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Re: Ancora un classico
Si tutte osservazioni giuste non sono bravo a fare le cose di fretta hahah ci riprovo domani magari
Re: Ancora un classico
Io ho provato così:
applico la media armonica ai termini $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ ottenendo che
[math]
Poi applicando la media geometrica ad $a,b,c$ ottengo che:
[math]
Confrontando il risultato con la tesi si ottiene che $\sqrt[3]{abc}\leq abc$, ovvero che $abc$ deve essere necessariamente maggiore o uguale ad 1.
applico la media armonica ai termini $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ ottenendo che
[math]
Poi applicando la media geometrica ad $a,b,c$ ottengo che:
[math]
Confrontando il risultato con la tesi si ottiene che $\sqrt[3]{abc}\leq abc$, ovvero che $abc$ deve essere necessariamente maggiore o uguale ad 1.
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Re: Ancora un classico
Controlla la media armonica perché non è proprio cosìEmarossi ha scritto: ↑06 ago 2017, 10:29 Io ho provato così:
applico la media armonica ai termini $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$ ottenendo che
[math]
Poi applicando la media geometrica ad $a,b,c$ ottengo che:
[math]
Confrontando il risultato con la tesi si ottiene che $\sqrt[3]{abc}\leq abc$, ovvero che $abc$ deve essere necessariamente maggiore o uguale ad 1.
Un bresciano esportato nel cremonese
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
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Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.
Re: Ancora un classico
Ho trovato l'errore
Grazie
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