Pagina 1 di 1

Disuguaglianza Schurosa 4

Inviato: 15 giu 2017, 15:02
da Talete
Questa è l'ultima, poi la smetto.
Siano $a$, $b$ e $c$ numeri reali positivi. Dimostrare che
\[\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.\]

Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Inviato: 19 giu 2017, 13:43
da Ventu06
Testo nascosto:

Sviluppando tutto, moltiplicando entrambi i membri per $6(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$ e raccogliendo i termini in somme simmetriche, abbiamo:

$3[6:0:0]+12[5:1:0]+6[4:2:0]+12[4:1:1]+72[3:2:1]+23[2:2:2] \geq$
$12[4:2:0]+12[4:1:1]+12[3:3:0]+72[3:2:1]+20[2:2:2]$

Semplificando il tutto otteniamo:

$[6:0:0]+4[5:1:0]+[2:2:2] \geq 2[4:2:0]+4[3:3:0]$

Per bunching sappiamo che $4[5:1:0] \geq 4[3:3:0]$
Mentre per schur sappiamo che $[6:0:0]+[2:2:2] \geq 2[4:2:0]$

Sommando le due disuguaglianze dimostriamo la tesi.

Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Inviato: 19 giu 2017, 19:32
da nuoveolimpiadi1999
Scusa @Ventu06 ma non capisco la tua notazione, cosa intendi per [A : B :C] ?

Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Inviato: 19 giu 2017, 19:41
da Talete
La stessa cosa che io intendevo con $[A,B,C]$ qui

Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Inviato: 19 giu 2017, 19:49
da nuoveolimpiadi1999
Ah ok. Ora é chiaro, grazie. :)