Disuguaglianza Schurosa 4

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Talete
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Disuguaglianza Schurosa 4

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 15:02

Questa è l'ultima, poi la smetto.
Siano $a$, $b$ e $c$ numeri reali positivi. Dimostrare che
\[\left(\frac{a}{b+c}\right)^2+\left(\frac{b}{c+a}\right)^2+\left(\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Ventu06
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Messaggio da Ventu06 » 19 giu 2017, 13:43

Testo nascosto:

Sviluppando tutto, moltiplicando entrambi i membri per $6(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2$ e raccogliendo i termini in somme simmetriche, abbiamo:

$3[6:0:0]+12[5:1:0]+6[4:2:0]+12[4:1:1]+72[3:2:1]+23[2:2:2] \geq$
$12[4:2:0]+12[4:1:1]+12[3:3:0]+72[3:2:1]+20[2:2:2]$

Semplificando il tutto otteniamo:

$[6:0:0]+4[5:1:0]+[2:2:2] \geq 2[4:2:0]+4[3:3:0]$

Per bunching sappiamo che $4[5:1:0] \geq 4[3:3:0]$
Mentre per schur sappiamo che $[6:0:0]+[2:2:2] \geq 2[4:2:0]$

Sommando le due disuguaglianze dimostriamo la tesi.

nuoveolimpiadi1999
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 19 giu 2017, 19:32

Scusa @Ventu06 ma non capisco la tua notazione, cosa intendi per [A : B :C] ?

Talete
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Messaggio da Talete » 19 giu 2017, 19:41

La stessa cosa che io intendevo con $[A,B,C]$ qui
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
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nuoveolimpiadi1999
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Re: Disuguaglianza Schurosa 4

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 19 giu 2017, 19:49

Ah ok. Ora é chiaro, grazie. :)

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