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Siano $a$, $b$ e $c$ i lati di un triangolo di area $S$. Dimostrare che
\[abc(a+b+c)\ge 16S^2.\]

Siano $S_A$, $S_B$ e $S_C$ la notazione di Conway
Ricordiamo che vale
$$S_A S_B+S_B S_C+S_C S_A=4S^2$$
Sviluppando tutto e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo
$$[4,0,0]+[2,1,1] \ge 2[2,2,0]$$
Per Schur abbiamo
$$[4,0,0]+[2,1,1] \ge 2[3,1,0]$$
Per Bunching abbiamo
$$[3,1,0] \ge [2,2,0]$$
E quindi otteniamo
$$[4,0,0]+[2,1,1] \ge 2[3,1,0] \ge 2[2,2,0]$$
E quindi abbiamo la tesi

Altrimenti si può fare senza Schur
Riscriviamo usando la formula di Erone per l'area
$$abc(a+b+c) \ge 16p(p-a)(p-b)(p-c)$$
Facciamo ora la seguente sostituzione:
$$a=x+y$$
$$b=y+z$$
$$c=z+x$$
Con $x$,$y$ e $z$ reali positivi
$$2(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)\ge 16(x+y+z)xyz$$
Semplificando ci resta
$$(x+y)(y+z)(x+z)\ge 8xyz$$
Applicando AM-GM su $(x,y)$ e cicliche otteniamo
$$x+y \ge 2\sqrt{xy}$$
$$y+z \ge 2\sqrt{yz}$$
$$z+x \ge 2\sqrt{zx}$$
Moltiplicando si ha la tesi

Giuste entrambe! Oppure puoi anche usare le formule per il raggio inscritto e circoscritto, per ottenere $R\ge2r$, che è vera (disuguaglianza di Eulero).

Talete ha scritto: ↑16 giu 2017, 21:38 Giuste entrambe! Oppure puoi anche usare le formule per il raggio inscritto e circoscritto, per ottenere $R\ge2r$, che è vera (disuguaglianza di Eulero).

Che è quello che la disuguaglianza ti chiede di dimostrare alla fin fine, quindi io lo chiamerei barare (ma anche no ).

Okay, allora scrivi $I=[a: b :c]$ e $O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C]$. Usi la formula della distanza tra $O$ ed $I$ e ti viene che la distanza al quadrato è uguale a $R^2-2Rr$, da cui la tesi.

Sí, Schur si dimostra in baricentriche.