Disuguaglianza Schurosa 1

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Talete
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Disuguaglianza Schurosa 1

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 14:58

Siano $a$, $b$ e $c$ reali positivi tali che $a+b+c=1$. Dimostrare che
\[9abc+1\ge 4(ab+bc+ca).\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Davide Di Vora
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Re: Disuguaglianza Schurosa 1

Messaggio da Davide Di Vora » 16 giu 2017, 17:51

Sfruttiamo il vincolo per omogenizzare e riscriviamo come
$$9abc+(a+b+c)^3 \ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Sviluppando e usando la notazione delle somme simmetriche otteniamo
$$ [3,0,0]+4[1,1,1]+6[2,1,0] \ge 8[2,1,0]+3[1,1,1]$$
Ci resta quindi
$$[3,0,0]+[1,1,1]\ge 2[2,1,0]$$
Che è vero per Schur

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