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Se $ a$, $ b$, $ c$ sono i lati di un triangolo, dimostrare che
$ \dfrac {3\left(a^4+{} b^4+{} c^4\right)}{\left(a^2+{} b^2+{} c^2\right)^2}+ \dfrac {bc+{} ca+{} ab}{a^2+{} b^2+c^2}\geq 2$.

Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.

Gerald Lambeau ha scritto: ↑14 giu 2017, 14:57 Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.

Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentriche

Talete ha scritto: ↑15 giu 2017, 01:34

Gerald Lambeau ha scritto: ↑14 giu 2017, 14:57 Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.

Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentriche

Ma se non lo fossero sarebbe algebra pura, e a te piace l'algebra pura

Scusa Talete ma non ti seguo, cioé hai usato le baricentriche oppure no? Perché anche in caso negativo non riesco a capire la tua notazione e cosa intendi...

No, non ho usato le baricentriche. La mia era una battuta, difficilmente (a meno di casi particolari) si usano le baricentriche per risolvere disuguaglianze.

Io ho usato la notazione compatta per le somme simmetriche, e cioè:
\[[r,s,t]=a^rb^sc^t+a^rb^tc^s+a^tb^rc^s+a^tb^sc^r+a^sb^tc^r+a^sb^rc^t.\]

La disuguaglianza di Schur ci dice che, per ogni $r\ge1$, si ha che
\[[r+2,0,0]+[r,1,1]\ge[r+1,1,0]\]
mentre la disuguaglianza di Muirhead ci dice che, se $r\ge r'$, $r+s\ge r'+s'$ e $r+s+t=r'+s'+t'$, allora
\[[r,s,t]\ge[r',s',t'].\]

Io ho semplicemente applicato Schur con $r=2$ e Muirhead con $r=3$, $s=1$, $t=0$, $r'=2$, $s'=2$ e $t'=0$.

Si ora é chiaro la Schur mi sembra ci sia sul Gobbino, basta quella o ci sono altre fonti dove viene spiegata meglio? Per la Muirhead invece non la conosco, dove la posso trovare?

Anche Muirhead sta sulle Schede Olimpiche, sotto il nome di "bunching" o "raggruppamento", credo.

Se vuoi ora posto un po' di disuguaglianze "schurose" per esercitarsi