Lati di un triangolo

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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nuoveolimpiadi1999
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Lati di un triangolo

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 giu 2017, 14:28

Se $ a$, $ b$, $ c$ sono i lati di un triangolo, dimostrare che
$ \dfrac {3\left(a^4+{} b^4+{} c^4\right)}{\left(a^2+{} b^2+{} c^2\right)^2}+ \dfrac {bc+{} ca+{} ab}{a^2+{} b^2+c^2}\geq 2$.
Ultima modifica di nuoveolimpiadi1999 il 16 giu 2017, 21:53, modificato 1 volta in totale.

Gerald Lambeau
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Gerald Lambeau » 14 giu 2017, 14:57

Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
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Talete
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 01:34

Gerald Lambeau ha scritto:
14 giu 2017, 14:57
Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentriche
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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Gerald Lambeau
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Gerald Lambeau » 15 giu 2017, 09:35

Talete ha scritto:
15 giu 2017, 01:34
Gerald Lambeau ha scritto:
14 giu 2017, 14:57
Ma io direi anche $a, b, c \ge 0$ reali non tutti nulli.
Ma se sono lati di un triangolo viene in baricentriche
Ma se non lo fossero sarebbe algebra pura, e a te piace l'algebra pura :wink:
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 12:15

Testo nascosto:
Svolgendo i conti rimane
\[[4,0,0]+2[3,1,0]+[2,1,1]\ge4[2,2,0].\]

Schur ci dice che
\[[4,0,0]+[2,1,1]\ge 2[3,1,0]\]
e Muirhead ci dice che
\[4[3,1,0]\ge4[2,2,0].\]

Sommandole otteniamo la tesi.
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nuoveolimpiadi1999
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 15 giu 2017, 12:23

Scusa Talete ma non ti seguo, cioé hai usato le baricentriche oppure no? Perché anche in caso negativo non riesco a capire la tua notazione e cosa intendi... :(

Talete
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 13:11

No, non ho usato le baricentriche. La mia era una battuta, difficilmente (a meno di casi particolari) si usano le baricentriche per risolvere disuguaglianze.

Io ho usato la notazione compatta per le somme simmetriche, e cioè:
\[[r,s,t]=a^rb^sc^t+a^rb^tc^s+a^tb^rc^s+a^tb^sc^r+a^sb^tc^r+a^sb^rc^t.\]

La disuguaglianza di Schur ci dice che, per ogni $r\ge1$, si ha che
\[[r+2,0,0]+[r,1,1]\ge[r+1,1,0]\]
mentre la disuguaglianza di Muirhead ci dice che, se $r\ge r'$, $r+s\ge r'+s'$ e $r+s+t=r'+s'+t'$, allora
\[[r,s,t]\ge[r',s',t'].\]

Io ho semplicemente applicato Schur con $r=2$ e Muirhead con $r=3$, $s=1$, $t=0$, $r'=2$, $s'=2$ e $t'=0$.
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 15 giu 2017, 13:57

Si ora é chiaro la Schur mi sembra ci sia sul Gobbino, basta quella o ci sono altre fonti dove viene spiegata meglio? Per la Muirhead invece non la conosco, dove la posso trovare?

Talete
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Re: Lati di un triangolo

Messaggio da Talete » 15 giu 2017, 14:56

Anche Muirhead sta sulle Schede Olimpiche, sotto il nome di "bunching" o "raggruppamento", credo.

Se vuoi ora posto un po' di disuguaglianze "schurose" per esercitarsi ;)
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