Sistema 3 eq in 4 incognite

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jordan
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Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da jordan » 14 giu 2017, 14:16

Trovate tutte le soluzioni reali del seguente sistema:
$$\begin{array}{lcl}
xyz & = & x+y+z,\\
xyt & = & x+y+t,\\
xzt & = & x+z+t .\\
\end{array}$$
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Talete
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da Talete » 14 giu 2017, 14:26

Testo nascosto:
Moltiplico la prima per $t$ e la seconda per $z$, eguaglio e ottengo
\[(x+y)t=(x+y)z.\]
Da cui, se $x+y\neq0$, $t=z$.

Moltiplico la prima per $t$ e la terza per $y$, eguaglio e ottengo
\[(x+z)t=(x+z)y.\]
Da cui, se $x+z\neq0$, $t=y$.

Abbiamo quattro casi.

Caso (a): $t=z$ e $t=y$. Chiamo $\lambda=t=z=y$ e $x$ deve risolvere $\lambda^2 x=x+2\lambda$, dunque
\[x=\frac{2\lambda}{\lambda^2-1}.\]
Questo ci dà, per $\lambda\neq1$, tutte le soluzioni del tipo
\[(x,y,z,t)=\left(\frac{2\lambda}{\lambda^2-1},\lambda,\lambda,\lambda\right).\]

Caso (b): $x+y=0$ e $x+z=0$. Chiamo $\lambda=y=z=-x$ e noto che deve risolvere
\[-\lambda^3=\lambda,\]
dunque $\lambda=0$, da cui $t=0$, che dà la soluzione $(0,0,0,0)$ ma che era già stata parametrizzata prima.

Caso (c): $t=z$ e $x+z=0$. Chiamo $\lambda=t=z=-x$, che è uguale al caso (b).

Caso (d): $x+y=0$ e $t=y$. Chiamo $\lambda=t=y=-x$, che è uguale ai casi (b) e (c).
Spero di non aver detto troppe scemenze.
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 giu 2017, 14:30

Per curiositá da dove viene? (Mi sa un po' di un vecchio imo ma non sono sicuro.. ) :D

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jordan
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da jordan » 14 giu 2017, 18:34

Mi pare corretto; e' un problema da MSE in cui c'era anche la quarta equazione mancante $yzt = y+z+t$ (quindi non so la fonte, magari è davvero un vecchio imo).
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 giu 2017, 18:55

Cosa intendi per MSE?

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jordan
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da jordan » 14 giu 2017, 19:28

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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da Talete » 16 giu 2017, 00:39

jordan ha scritto:
14 giu 2017, 18:34
Mi pare corretto; e' un problema da MSE in cui c'era anche la quarta equazione mancante $yzt = y+z+t$ (quindi non so la fonte, magari è davvero un vecchio imo).
Con la quarta equazione mancante mi pare che le soluzioni siano soltanto
Testo nascosto:
$(0,0,0,0)$, $(\sqrt3,\sqrt3,\sqrt3,\sqrt3)$ e $(-\sqrt3,-\sqrt3,-\sqrt3,-\sqrt3)$.
E la generalizzazione con $kxyz=x+y+z$ e cicliche (e $k$ fissato)? Quanto viene al variare di $k$?
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Re: Sistema 3 eq in 4 incognite

Messaggio da jordan » 16 giu 2017, 14:54

Esatto per le tre soluzioni nel caso che avessimo anche la quarta equazione.

Riguardo il caso con $k$, a occhio mi pare funzioni la stessa soluzione di sopra..
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