Un classico.

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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nuoveolimpiadi1999
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Un classico.

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 13 giu 2017, 15:07

Siano $a,b,c$ numeri reali positivi, tali che: $a+b+c \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.$

Dimostrare che:
\[a+b+c \geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}. \]

Davide Di Vora
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Re: Un classico.

Messaggio da Davide Di Vora » 14 giu 2017, 10:52

Sviluppando i conti otteniamo
$$abc(a+b+c)^2\ge 3abc+2(a+b+c)$$
Notiamo che per il vincolo vale
$$abc(a+b+c)^2\ge abc(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)=3abc+\sum_{cyc} a^2b+\sum_{cyc} ab^2$$
Applicando il lemma di Titu a $(a,b,c)$ e $(1/b, 1/c, 1/a)$ otteniamo
$$\sum_{cyc} a^2b \ge (a+b+c)^2/(1/a+1/b+1/c) \ge a+b+c$$
Analogamente otteniamo
$$\sum_{cyc} ab^2 \ge a+b+c$$
Quindi abbiamo
$$abc(a+b+c)^2\ge 3abc+\sum_{cyc} a^2b+\sum_{cyc} ab^2 \ge 3abc+2(a+b+c)$$
Da cui la tesi
Ultima modifica di Davide Di Vora il 14 giu 2017, 11:06, modificato 1 volta in totale.

MATHia
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Re: Un classico.

Messaggio da MATHia » 14 giu 2017, 11:01

Occhio, se sviluppare i conti era moltiplicare per $(a+b+c)abc$, dovrebbe esserci un $2(a+b+c)$, non $2abc$

Davide Di Vora
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Re: Un classico.

Messaggio da Davide Di Vora » 14 giu 2017, 11:05

Hai ragione ho sbagliato a scrivere

nuoveolimpiadi1999
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Re: Un classico.

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 giu 2017, 12:36

Ottimo Davide! :)
Non conoscevo i il lemma di Titu. C'é per caso una dispensa,un video o qualcosa che lo spieghi?

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Lasker
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Re: Un classico.

Messaggio da Lasker » 14 giu 2017, 13:14

@nuoveolimpiadi: è un corollario di cauchy-schwarz
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

nuoveolimpiadi1999
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Re: Un classico.

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 14 giu 2017, 13:16

Ah giusto non ci avevo pensato, grazie Lasker.

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