Funzionale meno a caso

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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karlosson_sul_tetto
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Funzionale meno a caso

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 07 giu 2017, 21:46

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ che per ogni $x,y \in \mathbb{R}$ soddisfano:
$f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy$
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scambret
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Re: Funzionale meno a caso

Messaggio da scambret » 07 giu 2017, 21:56

Bella questa, insegna un paio di cose!
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"M anno buttato la crema solare, era de mi mamma"
"Me vie na congestione"
Panini che viaggiano molto velocemente verso la faccia di un tizio che risponde "I'm not hungry"

Aeroporto di Atene, 8 maggio 2015! Ancora nel cuore ITA4

FloatingPoint
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Re: Funzionale meno a caso

Messaggio da FloatingPoint » 08 giu 2017, 18:51

Risolviamo.
Testo nascosto:
Sia $P(x,y)$ la solita cosa.
Sia $c=f(0)$.
Da $P(x,0)$:
$f(f(x))=f(x)(1+c)-c \quad (1)$
Ponendo $x=0$ si ottiene $f(c)=c^2$.
Da $P(x,x)$:
$f(f(x-x))=f(x)-f(x)+[f(x)]^2-x^2\quad (2)$
ovvero
$[f(x)]^2=x^2+c^2$.
Si trova facilmente che $c^4=[f(c)]^2=2c^2$, da cui:
$c^2(c^2-2)=0\quad (3)$
Dalla $(1)$ si ha
$f(f(c)) = f(c)(1+c)-c=c^3+c^2-c$
Allora, dalla $(2)$:
$[f(f(c))]^2 = [f(c)]^2 +c^2 = c^4+c^2=3c^2$.
A questo punto
$3c^2=(c^3+c^2-c)^2=c^2(c^4+2c^3-c^2-2c+1)$
quindi, riscrivendo:
$(c^2-2)c^2(c+1)^2 + 2c^3=0$
Se nella $(3)$ si ha $c^2-2=0$, sostituendo si ottiene $c=0$, assurdo.
Allora deve essere $c=0$.
Riprendendo la $(1)$ e la $(2)$, si ha $f(f(x))=f(x)=\pm x$ (dove il segno dipende da $x$).
Ora, da $P(0,y)$ si ha $f(-y)=-f(y)$, ovvero, $f$ è dispari.
Dimostriamo ora che $f$ è iniettiva, supponendo che $f(x)=f(y)$ dati due reali $x,y$.
Allora $x^2=[f(x)]^2=[f(y)]^2=y^2$.
Se fosse $x=-y$ si avrebbe $f(x)=-f(y)$, quindi $f(x)=f(y)=0$, quindi $x=y=0$.
Pertanto si ha per forza $x=y$, come volevamo.
Allora immediatamente $f(f(x))=f(x)$ implica $f(x)=x\;\;\forall x\in \mathbb R$, che verifica.

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