Funzionale meno a caso

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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karlosson_sul_tetto
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Funzionale meno a caso

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 07 giu 2017, 21:46

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ che per ogni $x,y \in \mathbb{R}$ soddisfano:
$f(f(x-y))=f(x)-f(y)+f(x)f(y)-xy$
"Inequality happens"
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"Chissa se la fanno anche da asporto"

scambret
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Re: Funzionale meno a caso

Messaggio da scambret » 07 giu 2017, 21:56

Bella questa, insegna un paio di cose!

FloatingPoint
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Re: Funzionale meno a caso

Messaggio da FloatingPoint » 08 giu 2017, 18:51

Risolviamo.
Testo nascosto:
Sia $P(x,y)$ la solita cosa.
Sia $c=f(0)$.
Da $P(x,0)$:
$f(f(x))=f(x)(1+c)-c \quad (1)$
Ponendo $x=0$ si ottiene $f(c)=c^2$.
Da $P(x,x)$:
$f(f(x-x))=f(x)-f(x)+[f(x)]^2-x^2\quad (2)$
ovvero
$[f(x)]^2=x^2+c^2$.
Si trova facilmente che $c^4=[f(c)]^2=2c^2$, da cui:
$c^2(c^2-2)=0\quad (3)$
Dalla $(1)$ si ha
$f(f(c)) = f(c)(1+c)-c=c^3+c^2-c$
Allora, dalla $(2)$:
$[f(f(c))]^2 = [f(c)]^2 +c^2 = c^4+c^2=3c^2$.
A questo punto
$3c^2=(c^3+c^2-c)^2=c^2(c^4+2c^3-c^2-2c+1)$
quindi, riscrivendo:
$(c^2-2)c^2(c+1)^2 + 2c^3=0$
Se nella $(3)$ si ha $c^2-2=0$, sostituendo si ottiene $c=0$, assurdo.
Allora deve essere $c=0$.
Riprendendo la $(1)$ e la $(2)$, si ha $f(f(x))=f(x)=\pm x$ (dove il segno dipende da $x$).
Ora, da $P(0,y)$ si ha $f(-y)=-f(y)$, ovvero, $f$ è dispari.
Dimostriamo ora che $f$ è iniettiva, supponendo che $f(x)=f(y)$ dati due reali $x,y$.
Allora $x^2=[f(x)]^2=[f(y)]^2=y^2$.
Se fosse $x=-y$ si avrebbe $f(x)=-f(y)$, quindi $f(x)=f(y)=0$, quindi $x=y=0$.
Pertanto si ha per forza $x=y$, come volevamo.
Allora immediatamente $f(f(x))=f(x)$ implica $f(x)=x\;\;\forall x\in \mathbb R$, che verifica.

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