Disuguaglianza ancora più a caso

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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FloatingPoint
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Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da FloatingPoint » 05 giu 2017, 21:32

Own (spero di difficoltà dignitosa).
Siano [math] due reali positivi.
Dimostrare che
[math]
e trovare i casi di uguaglianza.
Ultima modifica di FloatingPoint il 05 giu 2017, 22:55, modificato 1 volta in totale.

Linda_
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da Linda_ » 05 giu 2017, 22:08

Sbaglio o tipo per $a=b=2$ non funziona?
"Dev'essere terribile!" "Sì, anche per me è davvero fantastico!"

Talete
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da Talete » 05 giu 2017, 22:45

Linda_ ha scritto:
05 giu 2017, 22:08
Sbaglio o tipo per $a=b=2$ non funziona?
Credo ci sia un typo... secondo me anche la terza coppia di parentesi va al quadrato:

\[(a-2)^2+(b-2)^2+(a/b+b/a+1)^2\ge 9.\]

EDIT: boh così però è ovvia... il terzo quadrato è sempre maggiore o uguale a $9$ (tipo per am-gm) e quindi la disuguaglianza è vera... e i casi di uguaglianza sono solo $a=b=2$... forse il typo era un altro, altrimenti sembra troppo banale
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

FloatingPoint
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da FloatingPoint » 05 giu 2017, 23:01

Talete ha scritto:
05 giu 2017, 22:45
Linda_ ha scritto:
05 giu 2017, 22:08
Sbaglio o tipo per $a=b=2$ non funziona?
Credo ci sia un typo... secondo me anche la terza coppia di parentesi va al quadrato:

\[(a-2)^2+(b-2)^2+(a/b+b/a+1)^2\ge 9.\]

EDIT: boh così però è ovvia... il terzo quadrato è sempre maggiore o uguale a $9$ (tipo per am-gm) e quindi la disuguaglianza è vera... e i casi di uguaglianza sono solo $a=b=2$... forse il typo era un altro, altrimenti sembra troppo banale
Hai ragione, è banale, e un novellino alle prime armi come me non dovrebbe mettersi a postare problemi a caso a quest'ora di notte :lol:
L'idea da cui sono partito è: cosa succede se applico AM-GM cercando di fare [math]?
Allora si scrive:
[math]
Così, ho giocato un po' con questa disuguaglianza, ma mi sono ritrovato con una forma banale senza accorgermene!

FloatingPoint
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da FloatingPoint » 05 giu 2017, 23:24

Rilancio con una vera disuguaglianza (sempre own), espressa nella forma più dura e pura:
[math]
dove [math], con [math] reali positivi.

Talete
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da Talete » 05 giu 2017, 23:50

Tranquillo ;)
È la prova che certe cose capitano anche ai migliori...

Anche se novellino alle prime armi mi ha fatto sorridere 8)

L'altra disuguaglianza la guardo domani, ché è tardi e il mio cervello non connette più ahah
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Federico II
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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da Federico II » 10 giu 2017, 17:51

Non banale, un po' intricata con qualche termine che confonde, ma quasi precisa :wink:
Testo nascosto:
La disuguaglianza richiesta si ottiene sommando membro a membro le seguenti quattro disuguaglianze:
$$[8,4,0]\geq[6,6,0]$$
vera per bunching;
$$\frac{4}{3}[6,4,2]\geq\frac{4}{3}[6,3,3]$$
sempre vera per bunching;
$$\frac{1}{3}[12,0,0]+\frac{2}{3}[6,4,2]\geq[8,2,2]$$
vera perché $\frac{1}{3}a^{12}+\frac{2}{3}a^6b^4c^2\geq a^8b^\frac{8}{3}c^\frac{4}{3}$ per AM-GM a $3$ termini sulla terna $(a^{12},a^6b^4c^2,a^6b^4c^2)$, e sommando membro a membro per tutte le permutazioni simmetriche si ottiene $\frac{1}{3}[12,0,0]+\frac{2}{3}[6,4,2]\geq\left[8,\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right]$, e poi per bunching si ha $\left[8,\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right]\geq[8,2,2]$;
$$\frac{2}{3}[12,0,0]+2[4,4,4]\geq\frac{8}{3}[6,3,3]$$
vera perché $\frac{1}{4}a^{12}+\frac{3}{4}a^4b^4c^4\geq a^6b^3c^3$ per AM-GM a $4$ termini sulla quaterna $(a^{12},a^4b^4c^4,a^4b^4c^4,a^4b^4c^4)$, e moltiplicando per $\frac{8}{3}$ e poi sommando membro a membro per tutte le permutazioni simmetriche la si ottiene.
Il responsabile della sala seminari

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Re: Disuguaglianza ancora più a caso

Messaggio da FloatingPoint » 12 giu 2017, 15:31

Federico II ha scritto:
10 giu 2017, 17:51
Non banale, un po' intricata con qualche termine che confonde, ma quasi precisa :wink:
Testo nascosto:
La disuguaglianza richiesta si ottiene sommando membro a membro le seguenti quattro disuguaglianze:
$$[8,4,0]\geq[6,6,0]$$
vera per bunching;
$$\frac{4}{3}[6,4,2]\geq\frac{4}{3}[6,3,3]$$
sempre vera per bunching;
$$\frac{1}{3}[12,0,0]+\frac{2}{3}[6,4,2]\geq[8,2,2]$$
vera perché $\frac{1}{3}a^{12}+\frac{2}{3}a^6b^4c^2\geq a^8b^\frac{8}{3}c^\frac{4}{3}$ per AM-GM a $3$ termini sulla terna $(a^{12},a^6b^4c^2,a^6b^4c^2)$, e sommando membro a membro per tutte le permutazioni simmetriche si ottiene $\frac{1}{3}[12,0,0]+\frac{2}{3}[6,4,2]\geq\left[8,\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right]$, e poi per bunching si ha $\left[8,\frac{8}{3},\frac{4}{3}\right]\geq[8,2,2]$;
$$\frac{2}{3}[12,0,0]+2[4,4,4]\geq\frac{8}{3}[6,3,3]$$
vera perché $\frac{1}{4}a^{12}+\frac{3}{4}a^4b^4c^4\geq a^6b^3c^3$ per AM-GM a $4$ termini sulla quaterna $(a^{12},a^4b^4c^4,a^4b^4c^4,a^4b^4c^4)$, e moltiplicando per $\frac{8}{3}$ e poi sommando membro a membro per tutte le permutazioni simmetriche la si ottiene.
Bene. La mia soluzione invece passava per
Testo nascosto:
$\Pi_{cyc} (a-b)^2 \ge 0$

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