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Disuguaglianze

Inviato: 18 mar 2017, 17:48
da nuoveolimpiadi1999
a,b,c sono reali positivi tali che abc<=a+b+c. Dimostrare che

a^2+b^2+c^2>=(sqrt3)abc

Re: Disuguaglianze

Inviato: 19 mar 2017, 13:18
da Talete
Testo nascosto:
Abbiamo che $abc\le a+b+c$, e vogliamo dimostrare che
\[a^2+b^2+c^2\ge \sqrt{3}\cdot abc.\]
Noi dimostreremo invece la seguente disuguaglianza:
\[a^2+b^2+c^2\ge \sqrt{3}\cdot \sqrt{abc}\cdot \sqrt{a+b+c}\ge \sqrt{3}\cdot abc.\]
La disuguaglianza CHS-RHS è palese per il vincol, dunque concentriamoci sull'altra. Possiamo riscrivere $a^2+b^2+c^2$ nel seguente modo:
\[a^2+b^2+c^2=\sqrt[4]{a^2+b^2+c^2}\cdot\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)^3}.\]
Notiamo che, per QM-AM, si ha che
\[\sqrt[4]{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt[4]{1/3}\cdot\sqrt{a+b+c}.\]
Inoltre per AM-GM, si ha che
\[\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)^3}\ge \sqrt[4]{27}\cdot \sqrt{abc}.\]
Moltiplicando queste due disuguaglianze otteniamo la tesi.


Credo sia la dimostrazione più brutta che io abbia mai fatto.

Re: Disuguaglianze

Inviato: 19 mar 2017, 14:53
da nuoveolimpiadi1999
Scusa Talete sono poco esperto e non riesco a seguire bene qualche tuo passaggio... :(
Cosa intendi per CHS-RHS?
E a chi applichi QM-AM e AM-GM? E dove viene fuori la radice quarta?

Re: Disuguaglianze

Inviato: 19 mar 2017, 18:23
da Talete
L'equazione è \[LHS\ge CHS\ge RHS\]
(è un modo di chiamare le cose, left hand side, center hand side e right hand side).

QM-AM la applico a $(a,b,c)$ mentre AM-GM la applico a $(a^2,b^2,c^2)$.

Le radici quarte le ho create io, perché mi servivano :D

Re: Disuguaglianze

Inviato: 19 mar 2017, 21:31
da nuoveolimpiadi1999
Ora è tutto chiaro. Grazie :)

Re: Disuguaglianze

Inviato: 20 mar 2017, 14:57
da Talete
Prego ;)