Matrice con prodotti delle colonne costanti

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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Matrice con prodotti delle colonne costanti

Messaggio da jordan » 06 feb 2017, 17:32

(7. Da qui) Dati $2n$ reali distinti $x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n$, definiamo la matrice $n\times n$ dove l'elemento nella posizione $(i,j)$ è $x_i+y_j$ per ogni $i,j=1,\ldots,n$. Dimostrare che se il prodotto dei numeri in ogni colonna è lo stesso, allora il prodotto dei numeri in ogni riga è lo stesso.
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Gerald Lambeau
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Re: Matrice con prodotti delle colonne costanti

Messaggio da Gerald Lambeau » 06 feb 2017, 21:02

Bello! :D
Testo nascosto:
Nella mia soluzione $i$ indica il numero di colonna e $j$ quello di riga.
Sia $C$ il prodotto di una colonna, che è costante. Consideriamo il polinomio $\displaystyle \prod_{j=1}^n (x+y_j)-C$. Questo è di grado $n$ e si annulla in $x_1, x_2, \dots, x_n$, $n$ valori diversi che sono dunque le sue radici, quindi è uguale al polinomio $\displaystyle \prod_{i=1}^n (x-x_i)$.
Scriviamoci questi due polinomi:
$\displaystyle \prod_{j=1}^n (x+y_j)-C=x^n+\left(\sum_{cyc} y_1 \right)x^{n-1}+\left( \sum_{sym} \frac{y_1y_2}{2!(n-2)!}\right)x^{n-2}+\dots+\prod_{cyc} y_1-C$;
$\displaystyle \prod_{i=1}^n (x-x_i)=x^n-\left(\sum_{cyc} x_1 \right)x^{n-1}+\left( \sum_{sym} \frac{x_1x_2}{2!(n-2)!}\right)x^{n-2}+\dots+(-1)^n \cdot \prod_{cyc} x_1$.
Uguagliando i coefficienti abbiamo che:
$\displaystyle \sum_{cyc} y_1=-\sum_{cyc} x_1$
$\displaystyle \sum_{sym} \frac{y_1y_2}{2!(n-2)!}=\sum_{sym} \frac{x_1x_2}{2!(n-2)!}$

$\vdots$

$\displaystyle \prod_{cyc} y_1-C=(-1)^n \cdot \prod_{cyc} x_1$.

Ci ricaviamo quindi:
$\displaystyle \sum_{cyc} x_1=-\sum_{cyc} y_1$
$\displaystyle \sum_{sym} \frac{x_1x_2}{2!(n-2)!}=\sum_{sym} \frac{y_1y_2}{2!(n-2)!}$

$\vdots$

$\displaystyle \prod_{cyc} x_1+(-1)^nC=(-1)^n \cdot \prod_{cyc} y_1$.

Consideriamo ora i due polinomi seguenti:
$\displaystyle \prod_{i=1}^n (x+x_i)+(-1)^nC=x^n+\left(\sum_{cyc} x_1 \right)x^{n-1}+\left( \sum_{sym} \frac{x_1x_2}{2!(n-2)!}\right)x^{n-2}+\dots+\prod_{cyc} x_1+(-1)^nC$;
$\displaystyle \prod_{j=1}^n (x-y_j)=x^n-\left(\sum_{cyc} y_1 \right)x^{n-1}+\left( \sum_{sym} \frac{y_1y_2}{2!(n-2)!}\right)x^{n-2}+\dots+(-1)^n \cdot \prod_{cyc} y_1$.


Da quello che abbiamo trovato sappiamo che questi due polinomi hanno i coefficienti uguali, quindi sono uguali. In particolare, gli $y_j$ sono zeri del secondo, quindi devono esserlo anche del primo, quindi deve valere
$\displaystyle \prod_{i=1}^n (y_j+x_i)+(-1)^nC=0 \Rightarrow \prod_{i=1}^n (y_j+x_i)=-(-1)^nC$ per ogni $j$, che è la tesi.

Notiamo anche che la costante per i prodotti delle righe è uguale a quella delle colonne se $n$ è dispari e al suo opposto se $n$ è pari.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

The Game.

Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

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