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Angoli in algebra

Inviato: 04 feb 2017, 15:04
da Gerald Lambeau
Ero indeciso sulla sezione, ho deciso di metterlo qui per come l'ho fatto io.

Sia $n>1$ un intero. Dimostrare che $\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=\sum_{k=1}^n \cos{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=0$.

Re: Angoli in algebra

Inviato: 04 feb 2017, 17:01
da Vinci
Per adesso mi è venuta la prima, se ci riesco mando pure la seconda:
Testo nascosto:
Notiamo che $$\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n} \right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {n-k}{n}\right)$$, e quindi tutti i termini della prima sommatoria si annullano tranne (nel caso in cui $n$ è pari) $$\sin \left( 2\pi \cdot \left( \dfrac {n}{2}\cdot \dfrac {1}{n} \right) \right) = \sin \pi$$ che è uguale a zero.

Re: Angoli in algebra

Inviato: 04 feb 2017, 17:29
da Gerald Lambeau
Buona la prima parte. La sezione dovrebbe suggerire come fare la seconda, utilizzando anche il risultato ottenuto nella prima.

Re: Angoli in algebra

Inviato: 04 feb 2017, 19:01
da Drago96
La sezione dice chiaramente che basta
Testo nascosto:
considerare il polinomio $x^n-1$

Re: Angoli in algebra

Inviato: 04 feb 2017, 19:37
da Gerald Lambeau
Consiglio di non aprire lo spoiler se volete provare il problema :lol: .