Angoli in algebra

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau »

Ero indeciso sulla sezione, ho deciso di metterlo qui per come l'ho fatto io.

Sia $n>1$ un intero. Dimostrare che $\displaystyle \sum_{k=1}^n \sin{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=\sum_{k=1}^n \cos{\left( 2 \pi \cdot \frac{k}{n} \right)}=0$.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Vinci
Messaggi: 159
Iscritto il: 30 gen 2015, 18:38

Re: Angoli in algebra

Messaggio da Vinci »

Per adesso mi è venuta la prima, se ci riesco mando pure la seconda:
Testo nascosto:
Notiamo che $$\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n}\right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {-k}{n} \right) =-\sin \left( 2\pi \cdot \dfrac {n-k}{n}\right)$$, e quindi tutti i termini della prima sommatoria si annullano tranne (nel caso in cui $n$ è pari) $$\sin \left( 2\pi \cdot \left( \dfrac {n}{2}\cdot \dfrac {1}{n} \right) \right) = \sin \pi$$ che è uguale a zero.
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau »

Buona la prima parte. La sezione dovrebbe suggerire come fare la seconda, utilizzando anche il risultato ottenuto nella prima.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Angoli in algebra

Messaggio da Drago96 »

La sezione dice chiaramente che basta
Testo nascosto:
considerare il polinomio $x^n-1$
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Avatar utente
Gerald Lambeau
Messaggi: 335
Iscritto il: 17 mag 2015, 13:32
Località: provincia di Lucca

Re: Angoli in algebra

Messaggio da Gerald Lambeau »

Consiglio di non aprire lo spoiler se volete provare il problema :lol: .
"If only I could be so grossly incandescent!"
Rispondi