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AM GM

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AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 16:38
da nuoveolimpiadi1999
Ho difficoltà con questo problema...

Determinare il più piccolo valore che può assumere l'espressione (a/b)+sqrt(b/a) al variare di a e b tra i numeri reali positivi.

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 20:14
da Lasker
Testo nascosto:
Fai AM GM sui tre termini $\left(\frac{a}{b}, \sqrt{\frac{b}{4a}}, \sqrt{\frac{b}{4a}}\right)$

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 20:18
da Gerald Lambeau
Ormai ha già postato Lasker, ma per chi volesse degli hint un po' più sparsi e meno diretti, eccoli.

Hint 1
Testo nascosto:
il titolo è azzeccatissimo
Hint 2
Testo nascosto:
$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$, ma la radice ci fa schifo, per avere un prodotto bello ce ne servono due
Hint 3
Testo nascosto:
ora che sai che nella somma vuoi due radici la riscrivi "spezzando" quella che hai, a questo punto AM-GM dovrebbe essere facile da applicare
Hint 4
Testo nascosto:
il minimo è $\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 21:14
da nuoveolimpiadi1999
Ho capito l'idea sfruttare AM e GM però non riesco a capire da dove salta fuori esattamente quella terna...

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 21:20
da Gerald Lambeau
Rileggi i miei hint 2 e 3.
Testo nascosto:
volendo invece essere meno criptici, tu hai un prodotto bello che fa 1, solo che applicando AM-GM sulla somma dei due termini non ottieni il prodotto bello; il termine con la radice lo vorresti due volte nel prodotto, quindi dovrà comparire due volte anche nella somma, e il modo più semplice di farlo apparire due volte anche nella soma è riscriverla dividendo il termine con la radice in due termini che sono la metà

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 21:25
da nuoveolimpiadi1999
Giusto, ora mi è chiaro. Grazie Lambeau! :)

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 21:59
da Gerald Lambeau
Prego! :)

Re: AM GM

Inviato: 29 gen 2017, 22:47
da Lasker
Volendo poi puoi chiederti anche perché la terna che ho detto io funziona, mentre ad esempio $\left(\frac{a}{b}, \sqrt\frac{9b}{16a}, \sqrt{\frac{b}{16a}}\right)$ no
Testo nascosto:
in questo caso non può raggiungere il caso di uguaglianza con i tre termini uguali

Re: AM GM

Inviato: 23 dic 2019, 08:47
da Andrea Palma
Per mostrare che è il minimo bisogna in qualche modo far vedere che si può raggiungere quel valore.
Cosa che effettivamente accade per qualunque \(a \in \mathbb R_+\) e con \(b = {a}{\sqrt[3]{4}}\).
Tutti gli orari sono UTC+02:00
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