AM GM

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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nuoveolimpiadi1999
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AM GM

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 gen 2017, 16:38

Ho difficoltà con questo problema...

Determinare il più piccolo valore che può assumere l'espressione (a/b)+sqrt(b/a) al variare di a e b tra i numeri reali positivi.

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Lasker
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Re: AM GM

Messaggio da Lasker » 29 gen 2017, 20:14

Testo nascosto:
Fai AM GM sui tre termini $\left(\frac{a}{b}, \sqrt{\frac{b}{4a}}, \sqrt{\frac{b}{4a}}\right)$
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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Gerald Lambeau
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Re: AM GM

Messaggio da Gerald Lambeau » 29 gen 2017, 20:18

Ormai ha già postato Lasker, ma per chi volesse degli hint un po' più sparsi e meno diretti, eccoli.

Hint 1
Testo nascosto:
il titolo è azzeccatissimo
Hint 2
Testo nascosto:
$\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1$, ma la radice ci fa schifo, per avere un prodotto bello ce ne servono due
Hint 3
Testo nascosto:
ora che sai che nella somma vuoi due radici la riscrivi "spezzando" quella che hai, a questo punto AM-GM dovrebbe essere facile da applicare
Hint 4
Testo nascosto:
il minimo è $\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
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nuoveolimpiadi1999
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Re: AM GM

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 gen 2017, 21:14

Ho capito l'idea sfruttare AM e GM però non riesco a capire da dove salta fuori esattamente quella terna...

Gerald Lambeau
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Re: AM GM

Messaggio da Gerald Lambeau » 29 gen 2017, 21:20

Rileggi i miei hint 2 e 3.
Testo nascosto:
volendo invece essere meno criptici, tu hai un prodotto bello che fa 1, solo che applicando AM-GM sulla somma dei due termini non ottieni il prodotto bello; il termine con la radice lo vorresti due volte nel prodotto, quindi dovrà comparire due volte anche nella somma, e il modo più semplice di farlo apparire due volte anche nella soma è riscriverla dividendo il termine con la radice in due termini che sono la metà
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Re: AM GM

Messaggio da nuoveolimpiadi1999 » 29 gen 2017, 21:25

Giusto, ora mi è chiaro. Grazie Lambeau! :)

Gerald Lambeau
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Re: AM GM

Messaggio da Gerald Lambeau » 29 gen 2017, 21:59

Prego! :)
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Lasker
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Re: AM GM

Messaggio da Lasker » 29 gen 2017, 22:47

Volendo poi puoi chiederti anche perché la terna che ho detto io funziona, mentre ad esempio $\left(\frac{a}{b}, \sqrt\frac{9b}{16a}, \sqrt{\frac{b}{16a}}\right)$ no
Testo nascosto:
in questo caso non può raggiungere il caso di uguaglianza con i tre termini uguali
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