Il (o un) polinomio che soddisfa (anche se non ho capito se il testo si riferisce ad esso specificando che sia unico o meno) è $g(x) = 6x^2 - 5x + 1$.
Prima di passare alla dimostrazione definiamo le matrici $a_{i,j}$ e $b_{i,j}$ tali che $f(x)^n = \sum_{i=0}^{2n} a_{n,i} x^i$ e $g(x)^n = \sum_{i=0}^{2n} b_{n,i} x^i$ per ogni $n$ intero positivo.
Poniamo per comodita' per ogni $n$ $a_{n,-2} = a_{n,-1} = a_{n,2n+1} = a_{n,2n+2} = 0$.
E' molto semplice notare ora che $a_{n+1,i} = 3a_{n,i} - 7a_{n,i-1} + 2a_{n,i-2}$ e che $b_{n+1,i} = b_{n,i} - 5b_{n,i-1} + 6b_{n,i-2}$ (*).
Dimostriamo ora innanzitutto che $\sum_{i=0}^{2n} a_{n,i}a_{n,i-j} = \sum_{i=0}^{2n} b_{n,i}b_{n,i-j}$per ogni $n \ge 1$ e per ogni $0 \leq j \leq i$ tramite il principio di induzione.
Passo base : $n=1$. Trivial.
Passo induttivo : supponiamo vera la tesi per $n$ e dimostriamola per $n+1$.
Vogliamo quindi dimostrare che $\sum_{i=0}^{2n+2} a_{n+1,i-j}a_{n+1,i-j} = \sum_{i=0}^{2n+2} b_{n+1,i}b_{n+1,i-j}$. Grazie a (*) l'uguaglianza da dimostrare si riduce a $$\sum_{i=0}^{2n+2} (3a_{n,i} - 7a_{n,i-1} + 2a_{n,i-2})(3a_{n,i-j} - 7a_{n,i-j-1} + 2a_{n,i-j-2}) = \sum_{i=0}^{2n+2} (b_{n,i} - 5b_{n,i-1} + 6b_{n,i-2})(b_{n,i-j} - 5b_{n,i-j-1} + 6b_{n,i-j-2})$$
Svolgendo il calcoli e sfruttando l'ipotesi induttiva abbiamo la nostra tesi.
Ora passiamo al dimostrare per ogni $n \ge 1$ che $\sum_{i=0}^{2n} a_{n,i}^2 =\sum_{i=0}^{2n} b_{n,i}^2 $, usufruendo nuovamente del principio di induzione.
Passo base : $n=1$. Trivial again.
Passo induttivo : Come prima, supponiamo la tesi verificata per $n$ prestandoci ora a dimostrarla per $n+1$. Grazie a (*) riscriviamo l'identità da dimostrare come $$\sum_{i=0}^{2n+2} (3a_{n+1,i} - 7a_{n+1,i-1} + 2a_{n+1,i-2})^2 = \sum_{i=0}^{2n+2} (b_{n+1,i} - 5b_{n+1,i-1} + 6b_{n+1,i-2})^2$$
Svolgendo i calcoli è semplice notare che l'uguaglianza è verificata se $\sum_{i=1}^{2n} a_{n,i}a_{n,i-j} = \sum_{i=1}^{2n} b_{n,i}b_{n,i-j}$ con $j \in \{1,2\}$ , cosa che abbiamo dimostrato essere vera in precedenza, quindi fine.