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Dati due sottoinsiemi di $\mathbb R$, $\mathcal A$ e $\mathcal B$, sia $\mathcal A \oplus\mathcal B$ il sottoinsieme di $\mathbb R$ i cui elementi sono somma di un elemento di $\mathcal A$ e un elemento di $\mathcal B$:
\[\mathcal A \oplus \mathcal B := \{a + b : (a,b) \in\mathcal A\times\mathcal B\}.\]
(a) Dire se esiste una partizione di $\mathbb Z$ in tre insiemi non vuoti $\mathcal X$, $\mathcal Y$, $\mathcal Z$, tali che $\mathcal X \oplus \mathcal Y$, $\mathcal Y \oplus \mathcal Z$ e $\mathcal Z \oplus \mathcal X$ siano a due a due disgiunti.
(b) Ripetere con $\mathbb Q$ al posto di $\mathbb Z$.

Per $\mathbb{Z}$ è facile, ma per $\mathbb{Q}$ non mi viene come dimostrare che non ce ne sono (giusto?). Qualche hint?

Grazie
Ma da dove viene se è noto?

ISL2012/A2

Edit: è stato anche BST2013/6