[Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

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Talete
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[Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

Messaggio da Talete » 24 dic 2016, 15:21

Dati due sottoinsiemi di $\mathbb R$, $\mathcal A$ e $\mathcal B$, sia $\mathcal A \oplus\mathcal B$ il sottoinsieme di $\mathbb R$ i cui elementi sono somma di un elemento di $\mathcal A$ e un elemento di $\mathcal B$:
\[\mathcal A \oplus \mathcal B := \{a + b : (a,b) \in\mathcal A\times\mathcal B\}.\]
(a) Dire se esiste una partizione di $\mathbb Z$ in tre insiemi non vuoti $\mathcal X$, $\mathcal Y$, $\mathcal Z$, tali che $\mathcal X \oplus \mathcal Y$, $\mathcal Y \oplus \mathcal Z$ e $\mathcal Z \oplus \mathcal X$ siano a due a due disgiunti.
(b) Ripetere con $\mathbb Q$ al posto di $\mathbb Z$.
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Salvador
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Re: [Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

Messaggio da Salvador » 09 set 2017, 23:34

Per $\mathbb{Z}$ è facile, ma per $\mathbb{Q}$ non mi viene come dimostrare che non ce ne sono (giusto?). Qualche hint?

Talete
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Re: [Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

Messaggio da Talete » 10 set 2017, 16:16

Testo nascosto:
Quello che vuoi dimostrare è giusto.
Testo nascosto:
Wlog $0\in\mathcal X$, anche se servirà solo alla fine.
Testo nascosto:
Presi $x\in\mathcal X$, $y\in\mathcal Y$ e $z\in\mathcal Z$, cosa puoi dire di $x+y-z$? Dove sta?
Testo nascosto:
A questo punto hai $\mathcal X\oplus\mathcal Y\subseteq \mathcal Z\oplus\mathcal Z$ e cicliche, giusto?
Testo nascosto:
Per dimostrare $\mathcal X\oplus\mathcal Y=\mathcal Z\oplus\mathcal Z$, ti manca l'altra inclusione.
Testo nascosto:
Considera $z_1\in\mathcal Z$, $z_2\in\mathcal Z$ e $x\in\mathcal X$. Dove sta $z_1+z_2-x$?
Testo nascosto:
Dovremmo avere $\mathcal X\oplus\mathcal Y\oplus \mathcal Z=\mathcal X\oplus\mathcal X\oplus\mathcal X$. Ora cosa possiamo dire di questo insieme?
Testo nascosto:
Prendiamo un razionale qualsiasi $q$, e consideriamo $q/3$. Dove sta $q$? Avremo mica dimostrato che $\mathcal X\oplus\mathcal X\oplus\mathcal X=\mathbb Q$?
Testo nascosto:
Da qui è facile trovare una contraddizione, giusto?
Testo nascosto:
Guardare il primo hint.
Testo nascosto:
Dato che $0\in\mathcal X$, si trova facilmente che $\mathcal X=\mathcal X\oplus\mathcal X=\mathcal X\oplus\mathcal X\oplus\mathcal X=\mathbb{Q}$. Ma $\mathcal Y$ e $\mathcal Z$ non possono essere vuoti.
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Salvador
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Re: [Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

Messaggio da Salvador » 10 set 2017, 16:22

Grazie :D
Ma da dove viene se è noto?

Talete
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Re: [Ammissione WC17] Algebra 3: "Ma questo è noto!"

Messaggio da Talete » 10 set 2017, 16:31

ISL2012/A2

Edit: è stato anche BST2013/6
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