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[Ammissione WC17] Algebra 1: La Disuguaglianza Dannata (cit)

Inviato: 24 dic 2016, 15:20
da Talete
Dimostrare che per qualunque terna di reali positivi $x$, $y$, $z$ tali che $xy + yz + zx = 3$, si ha che
\[x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+2\sqrt{xyz}\left(\sqrt{x^3+3x}+\sqrt{y^3+3y}+\sqrt{z^3+3z}\right) \ge 2xyz\left(x^2+y^2+z^2+6\right).\]

Re: [Ammissione WC17] Algebra 1: La Disuguaglianza Dannata (cit)

Inviato: 25 dic 2016, 10:43
da lucada23
qualcuno può dare qualche spunto?

Re: [Ammissione WC17] Algebra 1: La Disuguaglianza Dannata (cit)

Inviato: 26 dic 2016, 12:47
da Federico II
Testo nascosto:
$$LHS=\sum_{cyc}{x\left(x(y+z)+2\sqrt{yz\left(x^2+3\right)}\right)}$$
Testo nascosto:
$$x^2+3=(x+y)(x+z)$$
Testo nascosto:
AM-GM
Testo nascosto:
a 3 termini
Testo nascosto:
uno uguale a $x(y+z)$
Testo nascosto:
due uguali a $\sqrt{yz(x+y)(x+z)}$
Testo nascosto:
e ora basta omogeneizzare e viene per bunching.

Re: [Ammissione WC17] Algebra 1: La Disuguaglianza Dannata (cit)

Inviato: 26 dic 2016, 21:13
da lucada23
Grazie mille!!!!