Inequality happens

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Federico II
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Inequality happens

Messaggio da Federico II » 10 nov 2016, 22:49

Siano $a,b,c$ reali positivi tali che $ab+ac+bc\leq3abc$. Dimostrare che $$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{a+c}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{b+c}}+3\leq\sqrt{2}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right).$$
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Giovanni_98
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Re: Inequality happens

Messaggio da Giovanni_98 » 11 nov 2016, 15:00

Copio-incollo la soluzione che ho postato sul forum di Olimato, così qualcuno mi dice se è corretta o meno.
Testo nascosto:
Notiamo che $\sqrt{a+b} = \sqrt{\dfrac{(a+b)^2}{a+b}}$. Ne consegue che $$\sqrt{2}\sqrt{a+b} - \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}} = \sqrt{2}\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+2ab}{a+b}} - \sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{a+b}} = \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab} - \sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}}$$

Notiamo adesso che per $QM-AM$ sulla coppia $(a^2+b^2,2ab)$ vale $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+2ab}{2}} \ge \dfrac{\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{2ab}}{2}$

Da cui si ricava che $\sqrt{a^2+b^2+2ab} \ge \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab}}{\sqrt{2}}$ e quindi $\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab} \ge \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab}$ da cui $$\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2+2ab} - \sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a+b}} \ge \sqrt{\dfrac{2ab}{a+b}}$$

Pertanto, è sufficiente dimostrare che $$\sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} \ge 3$$

Dal momento che $$\sum_{cyc} ab \le 3abc$$si ha $$\sum_{cyc} \dfrac{1}{a} \le 3 \, \, \, (1)$$

E' noto che comunque data una $n-upla$ di reali positivi $u_1,u_2,\cdots,u_n$ vale $\sum_{cyc} u_1 \cdot \sum_{cyc} \dfrac{1}{u_1} \ge n^2$ (per esempio da $AM-HM$) pertanto si ha che $$\sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}} \cdot \sum_{cyc} \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}}} \ge 9$$

Ne segue che se dimostriamo che $\sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{2}} \le 3$ la tesi segue banalmente. Ma la disuguaglianza è ovviamente vera poichè per $AM-QM$ vale $$\dfrac{\sum_{cyc} \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}}{2}}}{3} \le \sqrt{\dfrac{\sum_{cyc} \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}}{3}} = \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}{3}} \le 1$$per (1), da cui la finalmente la tesi.

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Federico II
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Re: Inequality happens

Messaggio da Federico II » 12 nov 2016, 12:45

Va bene, unica imprecisione quando dici che applichi $QM-AM$ su $\left(a^2+b^2,2ab\right)$ in realtà è $\left(\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{2ab}\right)$.
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