Disuguaglianza (BST 2015/03)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Talete
Messaggi: 665
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Disuguaglianza (BST 2015/03)

Messaggio da Talete » 05 ott 2016, 13:35

Dati sei numeri reali positivi $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ ed $F$ tali che
\[(A-D)(B-E)(C-F)=ABC-DEF,\]
dimostrare che
\[(A+D)(B+E)(C+F)\ge 8ABC.\]
Testo nascosto:
L'ho risolto ma mi è parso banale, eppure non dovrebbe esserlo (insomma, un BST 3...)
Lo posto qui così magari capisco di aver cannato totalmente soluzione.
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1114
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Disuguaglianza (BST 2015/03)

Messaggio da Drago96 » 05 ott 2016, 16:53

In effetti non era troppo difficile... Ma in generale i test non sono impossibili...
Vediamo se mi ricordo circa la soluzione (così puoi confrontarla)
Testo nascosto:
Divido per $def$ tutto, e chiamo $x=\frac a d$ e cicliche.
L'ipotesi è $(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-1$, la tesi $(x+1)(y+1)(z+1)\ge8$.
Dunque il vincolo è $\sigma_1=\sigma_2$, la tesi $xyz+\sigma_1+\sigma_2+1\ge8$
L'idea più grossa era questa di riportarsi a 3 variabili; da qua ci sono vari modi di fare la disuguaglianza, una strada sicura è questa (ce ne sono di molto più rapide, immagino)
Omogenizzo e ho $xyz\cdot\sigma_1^3+2\sigma_2^2\sigma_1^2\ge7\sigma_2^3$
Espando con la notazione del bunching:
$[4,1,1]+6[3,2,1]+2[2,2,2]+([2,2,0]+2[2,1,1])\cdot([2,0,0]+2[1,1,0])\ge7([3,3,0]+6[3,2,1]+2[2,2,2])$
$[4,1,1]+6[3,2,1]+2[2,2,2]+4[4,2,0]+2[2,2,2]+4[3,3,0]+8[3,2,1]+4[4,1,1]+8[3,2,1]+16[3,2,1]+8[2,2,2]\ge 7[3,3,0]+42[3,2,1]+14[2,2,2]$
$4[4,2,0]+5[4,1,1]\ge 3[3,3,0]+4[3,2,1]+2[2,2,2]$
che è stralarga
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Talete
Messaggi: 665
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: Disuguaglianza (BST 2015/03)

Messaggio da Talete » 05 ott 2016, 17:16

Testo nascosto:
Yes, $x$, $y$ e $z$ li avevo trovati anch'io, poi ho fatto Jensen su $f(x)=\log(1+x)$ e ho usato che $x+y+z\ge3$ (ricavato dal vincolo e da MacLaurin).

Grazie mille ;)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti