Successione per ricorrenza con costanti indipendenti (help!)

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alegh
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Successione per ricorrenza con costanti indipendenti (help!)

Messaggio da alegh » 02 ott 2016, 19:38

Risolvendo un problema ho trovato la seguente successione per ricorrenza:
\[
\begin{cases}
a_{0}=b-\lambda_{0}\\
a_{1}=(b-\lambda_{0})^{2}-\lambda_{1}\\
a_{n+1}=(a_{n})^{2}-\lambda_{n+1}
\end{cases}
\]
con $\lambda_{0}=0$, e gli altri $\lambda_{i}$ sono interi fissati.
Credo non sia una successione standard e pur avendo guardato almeno in parte A3 medium non riesco a trovare una formula esplicita per calcolare $a_{n}$ poichè non ho informazioni sui $\lambda_{i}$.
Mi potreste aiutare?
Grazie

EvaristeG
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Re: Successione per ricorrenza con costanti indipendenti (help!)

Messaggio da EvaristeG » 02 ott 2016, 23:13

Se per standard intendi "lineare con coefficienti costanti", cioè quelle per cui c'è un algoritmo più o meno banale per produrre la formula risolutiva (tipo quello che porta alla formula di Binet per i Fibonacci), no. In quanto non è nemmeno una successione per ricorrenza in senso stretto. Già il fatto che ci sia un quadrato del termine prima, ti dice che non è una ricorsione lineare. Ma poi, c'è il fatto che una ricorsione è una cosa del tipo
$$a_{n+1}=f(a_n, \ldots, a_0, n)$$
cioè un termine è funzione di (eventualmente tutti) quelli prima e (al più anche) del numero dell'iterazione. Quindi, com'è scritta, non è una successione per ricorrenza.
Se non hai una formula esplicita per i $\lambda_n$ la vedo dura darne una per gli $a_n$.

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Troleito br00tal
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Re: Successione per ricorrenza con costanti indipendenti (help!)

Messaggio da Troleito br00tal » 03 ott 2016, 00:25

Che io sappia già solo il caso $\lambda_n =-1$ è attualmente "irrisolto" (si sa che è della forma $\lfloor \alpha^{2^n} \rfloor$ (e la dimostrazione di questo fatto è non proprio elementare ma del tutto fattibile anche per la matematica olimpica) ma non si sa nulla su $\alpha$)

http://math.stackexchange.com/questions ... a-n1-a-n21

EvaristeG
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Re: Successione per ricorrenza con costanti indipendenti (help!)

Messaggio da EvaristeG » 03 ott 2016, 13:34

Beh, volendo poi essere saccenti, si potrebbe anche dire che già solo questo problema
$$a_0=0,\quad a_{n+1}=a_n^2+c,\quad\textrm{per quali $c$ la successione è limitata?}$$
è tra quelli che han dato origine ad un settore della matematica che viene studiato da circa 100 anni (i sistemi dinamici).
E, tra parentesi, l'insieme dei valori $c$ complessi per cui quella successione è limitata è un frattale e si chiama Insieme di Mandelbrot :D
Temo che le uniche costanti $c$ per cui quella roba ha una formula chiusa siano $0$ e $-2$ (o forse con il + ... non mi ricordo).

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