Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Rho33
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Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da Rho33 » 17 ago 2016, 18:02

Dimostrare che il polinomio $p(x)=x^4+1$ è irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$ ma è riducibile su $\mathbb{F}_p[x]$ per ogni primo $p$.

P.S. Non sapevo dove metterlo sinceramente, dato che la mia soluzione è molto non-algebrica :oops:

pipotoninoster
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Re: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da pipotoninoster » 58 minuti fa

Allora, premetto che di strutture algebriche, gruppi, anelli, campi so poco e niente. Comunque, ci provo...
Testo nascosto:
Per dimostrare che è irriducibile su [math] si osserva che su [math] è fattorizzabile come[math], dove [math], [math]. Nessuna delle radici è reale, e l'unico modo in cui può fattorizzarsi in [math] è [math], che non è una fattorizzazione su [math]. Dunque è irriducibile in tale anello.
Per quanto riguarda invece la seconda richiesta, si ha che:
- se [math] allora [math], dove [math]. Infatti [math] è residuo quadratico modulo [math] per [math]
- se [math] allora [math] è residuo quadratico e [math], con [math]
- se [math] allora [math] è residuo quadratico e [math], con [math]
- se [math] allora [math]

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