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Dimostrare che il polinomio $p(x)=x^4+1$ è irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$ ma è riducibile su $\mathbb{F}_p[x]$ per ogni primo $p$.

P.S. Non sapevo dove metterlo sinceramente, dato che la mia soluzione è molto non-algebrica

Allora, premetto che di strutture algebriche, gruppi, anelli, campi so poco e niente. Comunque, ci provo...

C'è una generalizzazione MNE per cui i ciclotomici riducibili modulo $p$ per ogni $p$ sono esattamente quelli tali che il loro discriminante è un quadrato perfetto, se interessa a qualcuno

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo numero naturale $k$ tale per cui $8\mid (p^k-1)$, in quanto le radici di $\Phi_8(x)$ sono le radici primitive ottave dell'unità e la parte moltiplicativa di un campo finito è un gruppo ciclico. D'altra parte se $p\equiv 1\pmod{8}$ si ha $k=1$, per cui $\Phi_8(x)$ si spezza in fattori lineari, altrimenti $k=2$, e $\Phi_8(x)$ si spezza come prodotto di due irriducibili quadratici. Comunque vada $k=4$ (corrispondente al caso in cui $p(x)$ risulta irriducibile su $\mathbb{F}_p$) non ha mai luogo.

Potete provare a semplificare questa dimostrazione considerando una scrittura esplicita delle radici complesse di $\Phi_8(x)$ e il fatto che, per ogni primo $p$ dispari, almeno un numero tra $-1,2$ e $-2$ è un residuo quadratico $\!\!\pmod{p}$, visto che il simbolo di Legendre è moltiplicativo.