Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Rho33
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Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da Rho33 » 17 ago 2016, 18:02

Dimostrare che il polinomio $p(x)=x^4+1$ è irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$ ma è riducibile su $\mathbb{F}_p[x]$ per ogni primo $p$.

P.S. Non sapevo dove metterlo sinceramente, dato che la mia soluzione è molto non-algebrica :oops:

pipotoninoster
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Re: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da pipotoninoster » 25 feb 2018, 05:54

Allora, premetto che di strutture algebriche, gruppi, anelli, campi so poco e niente. Comunque, ci provo...
Testo nascosto:
Per dimostrare che è irriducibile su [math] si osserva che su [math] è fattorizzabile come[math], dove [math], [math]. Nessuna delle radici è reale, e l'unico modo in cui può fattorizzarsi in [math] è [math], che non è una fattorizzazione su [math]. Dunque è irriducibile in tale anello.
Per quanto riguarda invece la seconda richiesta, si ha che:
- se [math] allora [math], dove [math]. Infatti [math] è residuo quadratico modulo [math] per [math]
- se [math] allora [math] è residuo quadratico e [math], con [math]
- se [math] allora [math] è residuo quadratico e [math], con [math]
- se [math] allora [math]

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Lasker
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Re: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da Lasker » 25 feb 2018, 17:42

C'è una generalizzazione MNE per cui i ciclotomici riducibili modulo $p$ per ogni $p$ sono esattamente quelli tali che il loro discriminante è un quadrato perfetto, se interessa a qualcuno :)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

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elianto84
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Re: Polinomio irriducibile riducibile dappertutto

Messaggio da elianto84 » 07 mar 2018, 00:35

Soluzione un po' tecnica: $p(x)=x^4+1$ non è esattamente un polinomio a caso, è l'ottavo polinomio ciclotomico $\Phi_8(x)$. Esso è palesemente un quadrato in $\mathbb{F}_2[x]$. Se consideriamo un primo $p$ dispari, il grado del campo di spezzamento di $\Phi_8(x)$ su $\mathbb{F}_p$ è dato dal minimo numero naturale $k$ tale per cui $8\mid (p^k-1)$, in quanto le radici di $\Phi_8(x)$ sono le radici primitive ottave dell'unità e la parte moltiplicativa di un campo finito è un gruppo ciclico. D'altra parte se $p\equiv 1\pmod{8}$ si ha $k=1$, per cui $\Phi_8(x)$ si spezza in fattori lineari, altrimenti $k=2$, e $\Phi_8(x)$ si spezza come prodotto di due irriducibili quadratici. Comunque vada $k=4$ (corrispondente al caso in cui $p(x)$ risulta irriducibile su $\mathbb{F}_p$) non ha mai luogo.

Potete provare a semplificare questa dimostrazione considerando una scrittura esplicita delle radici complesse di $\Phi_8(x)$ e il fatto che, per ogni primo $p$ dispari, almeno un numero tra $-1,2$ e $-2$ è un residuo quadratico $\!\!\pmod{p}$, visto che il simbolo di Legendre è moltiplicativo.
Jack alias elianto84 alias jack202

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