Funzionale o algebra lineare?

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Nadal21
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Funzionale o algebra lineare?

Messaggio da Nadal21 » 27 lug 2016, 15:09

Mostrare che l'immagine di ognuna delle funzioni $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ tali che

$ f ( x + f(y)) = f(x) + f(y)$

è un insieme chiuso rispetto all'addizione: ciò vuol dire che se $w_1$ e $w_2$ appartengono a questo insieme, allora vi appartiene anche $w_1 + w_2$.

RiccardoKelso

Re: Funzionale o algebra lineare?

Messaggio da RiccardoKelso » 27 lug 2016, 15:51

Non discende in modo diretto dall'ipotesi che soddisfano le funzioni?
Siano $y_1=f(x_1)$ e $y_2=f(x_2)$ due generici elementi dell'immagine, allora $y_1+y_2=f(x_1+y_2)=y_3 \in Im\space f$, il che ha senso dato che la funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$, che è notoriamente un campo. Penso mi sfugga qualcosa, ma almeno capisco cosa.

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ghilu
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Re: Funzionale o algebra lineare?

Messaggio da ghilu » 25 ago 2016, 16:37

RiccardoKelso, confermo che non ti sfugge nulla, hai ragione. Tra l'altro, con non troppo sforzo si resce a capire come sono fatte tutte quante le funzioni che soddisfano la funzionale. In particolare, come immagine di f si puo' prendere qualsiasi insieme chiuso rispetto all'addizione, contenente lo zero e contenente gli opposti di tutti i suoi elementi. (Per fare il pignolo la tal cosa sarebbe subordinata all'assunzione di un assioma della matematica detto 'assioma di scelta', ma vabbeh).
Non si smette mai di imparare.

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