Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Talete
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Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Talete » 23 mag 2016, 18:33

... ma non mi dispiacerebbe averne anche una che non sia non-elementare. ;)

Sia $i$ quel magico numero il cui quadrato è $-1$ e siano $m$ ed $n$ due bei numeri interi positivi, con la fantastica proprietà che $m<n$. Trovare, in funzione di $m$ ed $n$, il valore di
\[\sum_{k=m}^n k\cdot i^k.\]
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Claudio.
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Claudio. » 24 mag 2016, 08:06

Ma sono ammesse parti intere?

fph
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da fph » 24 mag 2016, 08:22

Dai un'occhiata al pdf di A3M del senior 2012; lì faccio vedere velocemente un'idea basata su double-counting per calcolare la somma $x+2x^2+\dots + nx^n$ senza derivate, che è quello che ti serve qui.
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Claudio.
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Claudio. » 24 mag 2016, 08:50

Conosco la somma, per qualche ragione non mi è neanche passato per la testa di applicarla ad $i$, sarà che ho subito iniziato a pensare alle potenze di $i$ modulo 4

Talete
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Talete » 24 mag 2016, 14:40

Grazie fph! Devo ammettere che con il tuo metodo è più facile che fare tutti i miei contacci di derivate ;)

EDIT: per chi non abbia voglia di andarsi a cercare tutto quanto, ecco il suggerimento di fph (se l'ho ben interpretato):
Testo nascosto:
\[x+2x^2+3x^3+4x^4=(x+x^2+x^3+x^4)+(x^2+x^3+x^4)+(x^3+x^4)+(x^4)=x\cdot\frac{x^4-1}{x-1}+x^2\cdot\frac{x^3-1}{x-1}+x^3\cdot\frac{x^2-1}{x-1}+x^4\cdot\frac{x-1}{x-1}=\frac1{x-1}\left[x(x^4-1)+x^2(x^3-1)+x^3(x^2-1)+x^4(x-1)\right]=\frac1{x-1}[4x^5-x-x^2-x^3-x^4]=\frac1{x-1}\left[4x^5-x\cdot\frac{x^4-1}{x-1}\right]=\frac{1}{(x-1)^2}[4x^6-4x^5-x^5+x]=\frac{4x^6-5x^5+x}{(x-1)^2},\]
che alternativamente potrebbe essere preso come un: moltiplica la roba di cui devi calcolare il valore per $(x-1)^2$: che ottieni di bello?
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da fph » 25 mag 2016, 00:27

Sì, interpretato alla perfezione. Mi piace molto, anzi più del mio metodo, anche il tuo modo di vederlo come
Testo nascosto:
"moltiplica per $(x-1)^2$". L'$(x-1)^2$ in fondo corrisponde a fare una differenza finita seconda, quindi quella tecnica funziona tutte le volte che i coefficienti della serie formano una progressione aritmetica. Se crescessero quadraticamente ci andrebbe un $(x-1)^3$, e così via.
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Talete » 25 mag 2016, 21:58

Ottimo! Grazie! ;)
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Nadal21 » 29 mag 2016, 21:56

non ho ben capito perché è equivalente a moltiplicare per $(x-1)^2$, qualcuno potrebbe aiutarmi?

Talete
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Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...

Messaggio da Talete » 29 mag 2016, 23:34

Ok, allora posto le varie soluzioni che sono uscite in una maniera più completa. Facciamo il caso particolare in cui $m=0$, gli altri sono identici. Dobbiamo trovare in formula chiusa il valore di
\[\sum_{k=0}^n kx^k=x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots+nx^n.\]

Soluzione 1 (fph).
Testo nascosto:
Si ha chiaramente che
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=(x+x^2+x^3+\ldots+x^n)+(x^2+x^3+\ldots+x^n)+(x^3+\ldots+x^n)+\ldots+(x^{n-1}+x^n)+(x^n).\]
A questo punto, raccogliamo un fattore comune da ogni parentesi:
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=x(1+x+x^2+\ldots+x^{n-1})+x^2(1+x+\ldots+x^{n-2})+x^3(1+\ldots+x^{n-3})+\ldots+x^{n-1}(1+x)+x^n(1).\]
Ricordiamoci della formula per la somma di una progressione geometrica, e cioè
\[1+x+x^2+x^3+\ldots+x^k=\frac{x^{k+1}-1}{x-1},\]
per ricavare che
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=x\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)+x^2\left(\frac{x^{n-1}-1}{x-1}\right)+x^3\left(\frac{x^{n-2}-1}{x-1}\right)+\ldots+x^{n-1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}\right)+x^n\left(\frac{x-1}{x-1}\right).\]
Questa formula vale solo con $x\neq1$, ma con $x=1$ è banale il tutto (e poi l'esercizio originario chiedeva $x=i$). Ora raccogliamo il fattore $1/(x-1)$ e otteniamo
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=\frac{1}{x-1}\left[x(x^n-1)+x^2(x^{n-1}-1)+x^3(x^{n-2}-1)+\ldots+x^{n-1}(x^2-1)+x^n(x-1)\right].\]
A questo punto svolgiamo i conti nella parentesi quadra e otteniamo
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=\frac{1}{x-1}\left[(nx^{n+1})-(x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1}+x^n)\right].\]
A questo punto, ricordandoci di nuovo della somma della progressione geometrica:
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=\frac{1}{x-1}\left[(nx^{n+1})-x\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)\right].\]
A questo punto raccogliamo un altro $1/(x-1)$ e concludiamo:
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=\frac{1}{(x-1)^2}\left[(nx^{n+1})(x-1)-x(x^n-1)\right]=\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(x-1)^2}.\]
Soluzione 2 (fph$^{-1}$).
Testo nascosto:
Guardando la soluzione di fph mi è venuto in mente di invertirla, cioè di partire dalla fine e quindi moltiplicare il numero dato per $(x-1)^2$ e vedere quello che succedeva. Ed ecco qua:
\[(x-1)^2\cdot(x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n)=(x-1)\cdot\left[(x^2+2x^3+3x^4+\ldots+nx^{n+1})-(x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n)\right].\]
Ora guardando il contenuto della parentesi graffa si nota che
\[(x-1)^2\cdot(x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n)=(x-1)\cdot\left[nx^{n+1}-(x+x^2+x^3+\ldots+x^n)\right].\]
E ora concludiamo!
\[(x-1)\cdot\left[nx^{n+1}-(x+x^2+x^3+\ldots+x^n)\right]=nx^{n+2}-nx^{n+1}-(x^2+x^3+x^4+\ldots+x^{n+1})+(x+x^2+x^3+\ldots+x^n),\]
da cui si ricava che
\[(x-1)^2\cdot(x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n)=nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x,\]
e dunque dividendo per $1/(x-1)^2$ si ottiene
\[x+2x^2+3x^3+\ldots+nx^n=\frac{nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}{(x-1)^2},\]
che è lo stesso risultato di prima.
Soluzione 3 (brutal way).
Testo nascosto:
Attenzione! È sconsigliato leggere questa soluzione ai deboli di cuore e a quelli che sanno integrare e derivare meglio di me.

È noto che
\[\int x^k dx=\frac1{k+1}x^{k+1}.\]
Ora scriviamo la somma di cui vogliamo trovare il valore come
\[\sum_{k=0}^n kx^k=x\cdot\sum_{k=0}^n kx^{k-1}=x\cdot\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1},\]
ed integriamo il secondo fattore a rhs:
\[\int \left(\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1}\right)dx=\sum_{k=0}^{n} \left(\int kx^{k-1}dx\right)=\sum_{k=0}^{n} x^{k}.\]
Questa è come prima la somma di una progressione geometrica, e dunque
\[\int\left(\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1}\right)dx=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}.\]
Deriviamo da ambo le parti e moltiplichiamo per $x$. Otteniamo che
\[\sum_{k=1}^n kx^k=x\cdot\sum_{k=0}^{n} kx^{k-1}=x\cdot\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'.\]
Ci basta solo da derivare quella frazione lì:
\[\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2},\]
che moltiplicato per $x$ dà proprio il valore desiderato.
Buona notte!

EDIT: Scherzavo! Un paio di esercizî:
Testo nascosto:
• calcolare il valore di
\[\sum_{k=0}^n \left(3k+2\right)\cdot x^k.\]
• calcolare il valore di
\[\sum_{k=0}^n k^2\cdot x^k.\]
• calcolare il valore di
\[\sum_{k=0}^n (4k^2-3k+8)\cdot x^k.\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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