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Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 23 mag 2016, 18:33
da Talete
... ma non mi dispiacerebbe averne anche una che non sia non-elementare.
Sia $i$ quel magico numero il cui quadrato è $-1$ e siano $m$ ed $n$ due bei numeri interi positivi, con la fantastica proprietà che $m<n$. Trovare, in funzione di $m$ ed $n$, il valore di
\[\sum_{k=m}^n k\cdot i^k.\]
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 24 mag 2016, 08:06
da Claudio.
Ma sono ammesse parti intere?
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 24 mag 2016, 08:22
da fph
Dai un'occhiata al pdf di A3M del senior 2012; lì faccio vedere velocemente un'idea basata su double-counting per calcolare la somma $x+2x^2+\dots + nx^n$ senza derivate, che è quello che ti serve qui.
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 24 mag 2016, 08:50
da Claudio.
Conosco la somma, per qualche ragione non mi è neanche passato per la testa di applicarla ad $i$, sarà che ho subito iniziato a pensare alle potenze di $i$ modulo 4
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 24 mag 2016, 14:40
da Talete
Grazie fph! Devo ammettere che con il tuo metodo è più facile che fare tutti i miei contacci di derivate
EDIT: per chi non abbia voglia di andarsi a cercare tutto quanto, ecco il suggerimento di fph (se l'ho ben interpretato):
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 25 mag 2016, 00:27
da fph
Sì, interpretato alla perfezione. Mi piace molto, anzi più del mio metodo, anche il tuo modo di vederlo come
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 25 mag 2016, 21:58
da Talete
Ottimo! Grazie!
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 29 mag 2016, 21:56
da Nadal21
non ho ben capito perché è equivalente a moltiplicare per $(x-1)^2$, qualcuno potrebbe aiutarmi?
Re: Lo posto solo perché ho una soluzione bella...
Inviato: 29 mag 2016, 23:34
da Talete
Ok, allora posto le varie soluzioni che sono uscite in una maniera più completa. Facciamo il caso particolare in cui $m=0$, gli altri sono identici. Dobbiamo trovare in formula chiusa il valore di
\[\sum_{k=0}^n kx^k=x+2x^2+3x^3+4x^4+\ldots+nx^n.\]
Soluzione 1 (fph).
Soluzione 2 (fph$^{-1}$).
Soluzione 3 (brutal way).
Buona notte!
EDIT: Scherzavo! Un paio di esercizî: