disequazione

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Nadal21
Messaggi: 164
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

disequazione

Messaggio da Nadal21 » 10 apr 2016, 19:14

Siano $ x $, $ y $ e $ z $ tre numeri reali positivi t.c. $ \quad x+y+z= xy+xz+yz $

dimostrare che

$ (x+1)(y+1)(z+1) \geq 8 $

Nadal21
Messaggi: 164
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 » 11 apr 2016, 18:20

Nessun aiuto :?: :roll:

erFuricksen
Messaggi: 165
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova, Pisa

Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen » 11 apr 2016, 22:00

Beh con la disuguaglianza di McLaurin sul vincolo trovi facilmente $AM \ge 1$ Quindi svolgendo la tesi ti riconduci a dover dimostrare $xyz \ge 1$ che viene facilmente per bunching su $(x+y+z)^3$
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

darkcrystal
Messaggi: 698
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: disequazione

Messaggio da darkcrystal » 11 apr 2016, 23:36

... salvo che $xyz \geq 1$ è falso, almeno se non mi sbaglio: prendi $x=y=2$ e $z=0$. Sta proprio lì tutto il problema!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

MATHia
Messaggi: 90
Iscritto il: 11 apr 2014, 01:08

Re: disequazione

Messaggio da MATHia » 11 apr 2016, 23:43

darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?

darkcrystal
Messaggi: 698
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: disequazione

Messaggio da darkcrystal » 12 apr 2016, 00:10

MATHia ha scritto:
darkcrystal ha scritto:prendi $x=y=2$ e $z=0$
Ma non dovevano essere positivi? :D
A me non è chiaro l'ultimo passaggio del Bunching: da $(x+y+z)^3\ge27$ come arrivi a $xyz\ge1$?
Uff, ok, $z=\varepsilon$ "piccolo" e $x,y$ che rispettano quello che devono: per continuità, se $\varepsilon$ è sufficientemente vicino a zero questo darà un controesempio a $xyz \geq 1$. Comunque, visto che fate i pignoli: $x=y=19/10$ e $z=19/280$ rispettano il vincolo, ma $xyz = \frac{6859}{28000} < 1$.

EDIT: perché sia chiaro - la disuguaglianza è vera! E' solo la "dimostrazione" di erFuricksen che mi lascia perplesso.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

Nadal21
Messaggi: 164
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 » 12 apr 2016, 09:29

Meno male! :roll: Pensavo fosse un esercizio banale che io (caprone!) non riesco a risolvere :oops: . Invece, sembra...., non sia semplicisssimo. :mrgreen:

scambret
Messaggi: 699
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: disequazione

Messaggio da scambret » 12 apr 2016, 14:42

Per un aiuto ben poco elegante, guarda ipotesi e tesi coi conti fatti. Simmetria dappertutto a cosa è uguale?
Testo nascosto:
Conti + le solite disugaglianze che coinvolgono cose simmetriche

erFuricksen
Messaggi: 165
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova, Pisa

Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen » 12 apr 2016, 18:08

Sì scusate, confesso di averla fatta a occhio e non aver fatto i conti quindi ho invertito il segno di una disuguaglianza! Appena arrivo ad una soluzione elementare prometto di rimediare! (nel frattempo ne ho trovata una non elementare che preferirei evitare di postare per un problema così standard)
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Nadal21
Messaggi: 164
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 » 13 apr 2016, 15:37

Io ci ho provato, ma ad una soluzione "elementare" non riesco ad arrivarci :oops:

Non so cosa non riesco a vedere :!:

erFuricksen
Messaggi: 165
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova, Pisa

Re: disequazione

Messaggio da erFuricksen » 14 apr 2016, 20:48

Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

AlexThirty
Messaggi: 217
Iscritto il: 20 giu 2015, 20:58

Re: disequazione

Messaggio da AlexThirty » 14 apr 2016, 21:19

erFuricksen ha scritto:Ok:
Testo nascosto:
Omogeneizzi tutto moltiplicando per $ {xy+xz+yz} \over {x+y+z} $, tanti conti e poi Bunching
Quindi ancora niente che mi piaccia :(
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

scambret
Messaggi: 699
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: disequazione

Messaggio da scambret » 15 apr 2016, 14:34

Beh però non è cosi da sottovalutare passare a qualcosa di tutto uguale di grado e poi conti + bunching. Anche perché i conti sono (relativamente) pochi.

Nadal21
Messaggi: 164
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: disequazione

Messaggio da Nadal21 » 19 apr 2016, 11:27

Qualcuno potrebbe inserire un post con questi "conti + bunching" :?: Grazie :oops: :D

MATHia
Messaggi: 90
Iscritto il: 11 apr 2014, 01:08

Re: disequazione

Messaggio da MATHia » 19 apr 2016, 23:13

Dunque, facciamo questi conti:
tutte le sommatorie indicate sono da considerarsi simmetriche, per cui scriverò $\sum$ al posto di $\sum_{sym}$. Sfruttiamo il vincolo in questo modo: da $x+y+z=xy+yz+zx$ si ricava $c:=\frac{xy+yz+zx}{x+y+z}=1$. Essendo $c=1$, possiamo sfruttarlo per omogeneizzare la tesi, che si può riscrivere come
$$xyz+2c(xy+yz+zx)\stackrel{?}{\ge}7c^3 \iff xyz(x+y+z)^3+2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2\stackrel{?}{\ge} 7(xy+yz+zx)^3 $$
Ora, il bello dell'ultima disequazione da dimostrare è che è omogenea in $x,y,z$, qunidi se facciamo i conti e scriviamo tutto in funzione di somme simmetriche, abbiamo la speranza di poter finire con Bunching. Svolgendo i conti, si trova
$$xyz(x+y+z)^3=\frac{1}{2}\sum{x^4yz}+3\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
$$2(x+y+z)^2(xy+yz+zx)^2=2\sum{x^4y^2}+2\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+16\sum{x^3y^2z}+5\sum{x^2y^2z^2}$$
$$7(xy+yz+zx)^3=\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
Dunque la tesi si può riscrivere come
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}+2\sum{x^3y^3}+19\sum{x^3y^2z}+6\sum{x^2y^2z^2}\stackrel{?}{\ge}\frac{7}{2}\sum{x^3y^3}+21\sum{x^3y^2z}+7\sum{x^2y^2z^2}$$
ossia
$$2\sum{x^4y^2}+\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\stackrel{?}{\ge}\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+2\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$$
Per Bunching, valgono $2\sum{x^4y^2}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^3}+\frac{1}{2}\sum{x^3y^2z}$, $\frac{5}{2}\sum{x^4yz}\ge\frac{3}{2}\sum{x^3y^2z}+\sum{x^2y^2z^2}$, dalla cui somma segue immediatamente la tesi.

Rispondi