Riciclare roba propria...

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gerald Lambeau
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Riciclare roba propria...

Messaggio da Gerald Lambeau » 02 apr 2016, 21:22

Own (credo) facile:
Trovare tutte le $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tali che
$f(x+y)^2=f(x)^2+f(y)^2+yf(x)$
per ogni coppia di reali $x, y$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
Cit. Marco (mio vero nome)

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Ci sono cose che non si possono confutare; per tutto il resto, c'è la fisica.

MATHia
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Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da MATHia » 01 ago 2016, 21:54

Chiamo $P(x,y)$ l'espressione iniziale. Sottraendo membro a membro $P(x,y)$ e $P(y,x)$ si ottiene:
\[
G(x,y):\quad xf(y)=yf(x)
\]
per ogni $x$, $y$ reali. Sostituendo $x\rightarrow -x$ si ottiene
\[
-xf(y)=yf(-x)
\]
che sommata alla precedente membro a membro porta a
\[
y(f(x)+f(-x))=0
\]
Scegliendo $y\ne 0$ di ottiene $f(x)=-f(-x)$ per ogni $x$ reale, cioè $f$ è dispari. In particolare, vale $f(x)^2=f(-x)^2$. Allora
\[
P(0,0): \quad f(0)^2=2f(0)^2 \implies f(0)=0
\]
per cui
\[
P(1,-1):\quad f(0)^2=f(1)^2+f(-1)^2-f(1) \iff 2f(1)^2-f(1)=0
\]
che ha come soluzioni $f(1)=\frac{1}{2}$ e $f(1)=0$. Da $G(x,1)$ si ricava $f(x)=xf(1)$ per ogni $x$ reale, quindi le candidate soluzioni sono $f(x)=0$ e $f(x)=\frac{x}{2}$, che soddisfano entrambe, sostituite nell'espressione iniziale.

EDIT: corretta terza formula (vedi sotto)
Ultima modifica di MATHia il 01 ago 2016, 22:29, modificato 1 volta in totale.

Gerald Lambeau
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Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da Gerald Lambeau » 01 ago 2016, 22:23

Buona salvo un typo, nella terza equazione dovrebbe essere $y(f(x)+f(-x))=0$.
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MATHia
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Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da MATHia » 01 ago 2016, 22:27

Sì, giusto, ora edito. Grazie :)

EELST
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Re: Riciclare roba propria...

Messaggio da EELST » 04 ago 2016, 14:06

Oppure al primo passaggio della soluzione di MATHia si vede subito che $f(0)=0$, poi basta riscrivere la condizione come $ \dfrac{f(y)}{y}=\dfrac{f(x)}{x}$ da cui il rapporto non varia per ogni $x,y$ reali diversi da 0 e ponendo $c=\dfrac{f(x)}{x}$ si ottiene $ f(x)=c\cdot x$ e sostituendo si ottengono i valori validi di $c$.

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