Somme di moduli
Inviato: 29 mar 2016, 22:06
Dati due numeri complessi non nulli $ z_1,z_2 $ tali che $\dfrac{z_1}{z_2} \notin \mathbb{R}$, si definisca $L=\{az_1+bz_2 | a,b \in \mathbb{Z} \}$ e si consideri la sommatoria $\sum\limits_{w \in L \setminus \{0\}} |w|^{-\alpha}$ con $\alpha \in \mathbb{R}$.
1) Dimostrare che se $\alpha=3$ la sommatoria converge
2) Dimostrare che se $\alpha=2$ la sommatoria diverge
3) La sommatoria converge per ogni $\alpha>2$ ?
4) Succedono cose analoghe in dimensioni maggiori? (dove $L$ รจ definito fissando $n$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^n$ e prendendo l'insieme delle loro combinazioni lineari a coefficienti interi)
5) Le risposte cambiano se si considera $\sum\limits_{w \in L} |w+\tau|^{-\alpha}$ con $\tau \notin L$ ?
Si dia per buono che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} n^{-\alpha}$ converge se e solo se $\alpha>1$
1) Dimostrare che se $\alpha=3$ la sommatoria converge
2) Dimostrare che se $\alpha=2$ la sommatoria diverge
3) La sommatoria converge per ogni $\alpha>2$ ?
4) Succedono cose analoghe in dimensioni maggiori? (dove $L$ รจ definito fissando $n$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^n$ e prendendo l'insieme delle loro combinazioni lineari a coefficienti interi)
5) Le risposte cambiano se si considera $\sum\limits_{w \in L} |w+\tau|^{-\alpha}$ con $\tau \notin L$ ?
Si dia per buono che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} n^{-\alpha}$ converge se e solo se $\alpha>1$