Somme di moduli

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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spugna
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Somme di moduli

Messaggio da spugna » 29 mar 2016, 22:06

Dati due numeri complessi non nulli $ z_1,z_2 $ tali che $\dfrac{z_1}{z_2} \notin \mathbb{R}$, si definisca $L=\{az_1+bz_2 | a,b \in \mathbb{Z} \}$ e si consideri la sommatoria $\sum\limits_{w \in L \setminus \{0\}} |w|^{-\alpha}$ con $\alpha \in \mathbb{R}$.

1) Dimostrare che se $\alpha=3$ la sommatoria converge

2) Dimostrare che se $\alpha=2$ la sommatoria diverge

3) La sommatoria converge per ogni $\alpha>2$ ?

4) Succedono cose analoghe in dimensioni maggiori? (dove $L$ è definito fissando $n$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^n$ e prendendo l'insieme delle loro combinazioni lineari a coefficienti interi)

5) Le risposte cambiano se si considera $\sum\limits_{w \in L} |w+\tau|^{-\alpha}$ con $\tau \notin L$ ?

Si dia per buono che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} n^{-\alpha}$ converge se e solo se $\alpha>1$
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero 100, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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