C'era una volta $\mathbb{Q}$

[cip999]

Trovare e uccidere tutte le terne ordinate $(p, \: q, \: r)$ di razionali positivi tali che $$p + \frac{1}{qr}, \quad q + \frac{1}{rp}, \quad r + \frac{1}{pq}$$ siano interi.

[bern-1-16-4-13]

Testo nascosto:

chiamiamo i tre termini di ogni terna (o associazione a delinquere) a cui stiamo dando la caccia $\frac{a_1}{a_2}$ e cicliche in $a,b,c$, con $\left(x_1,x_2\right)=1$.
Quindi la richiesta del testo è equivalente al fatto che $$\frac{a_1b_1c_1+a_2b_2c_2}{a_2b_1c_1}$$ e cicliche debbano essere dei numeri interi.
Supponiamo esista un primo $p$ tale che $v_p\left(a_1b_1c_1\right)\ne v_p\left(a_2b_2c_2\right)$.
Allora $$v_p\left(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2\right)=\min\left(v_p\left(a_1b_1c_1\right),v_p\left(a_2b_2c_2\right)\right).$$

Poiché $$v_p\left(a_1^2b_1^2c_1^2a_2b_2c_2\right)>3\min\left(v_p\left(a_1b_1c_1\right),v_p\left(a_2b_2c_2\right)\right)=v_p\left(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2\right),$$
possiamo dire che $WLOG$ $$v_p a_2b_1c_1>v_p\left(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2\right),$$ che è assurdo poiché in questo modo $$\frac{a_1b_1c_1+a_2b_2c_2}{a_2b_1c_1}$$ non potrebbe essere un numero intero.

Da qui concludiamo che $a_1b_1c_1=a_2b_2c_2$, quindi $$\frac{a_1b_1c_1+a_2b_2c_2}{a_2b_1c_1}=\frac{2a_1b_1c_1}{a_2b_1c_1}=\frac{2a_1}{a_2}$$ (stesso discorso per le cicliche),
e poiché $\left(x_1,x_2\right)=1$ si arriva a dire che $a_2,b_2,c_2\in\{1,2\}$.
Tenendo sempre presente che per quanto detto prima $$v_2\left(a_1b_1c_1\right)=v_2\left(a_2b_2c_2\right),$$ segue facilmente che le uniche terne "wanted" (a meno di permutazioni) sono $$(2,1,\frac{1}{2})$$ $$\left(4,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$ $$\left(1,1,1\right)$$

[cip999]

Ok, bella!

Metto la mia.

Testo nascosto:

Chiamiamo $\displaystyle p + \frac{1}{qr} = a$ e cicliche, e sia $P = pqr$. Si nota facilmente che $\displaystyle abc = \frac{(P + 1)^3}{P^2}$ è intero. Quindi $P$ è radice del polinomio a coefficienti interi $f(x) = x^3 + (3 - abc)x^2 + 3x + 1$, dunque per il teorema delle radici razionali è $1$ (non può essere negativo). Allora $\displaystyle p + \frac{1}{qr} = p + \frac{pqr}{qr} = 2p$ e cicliche sono interi e ci riduciamo a determinare le terne gli $a, \: b, \: c$ interi tali che $abc = 8$. Da qui si conclude subito.

[bern-1-16-4-13]

Chapeau!!

[bern-1-16-4-13]

Questo problema mi sa molto di esercizio dell'Engel..

[cip999]

Invece è un BMO (ma va'...)