Primi e potenze di primi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gerald Lambeau
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Primi e potenze di primi

Messaggio da Gerald Lambeau » 23 feb 2016, 20:47

Non sono sicuro che sia la sezione giusta, mi baso su come l'ho risolto io.
Siano $x$ un intero positivo maggiore di $1$ e $p$ un primo. Dimostrare che se $1+x^n+(x^2)^n+ \dots +(x^{p-3})^n+(x^{p-2})^n+(x^{p-1})^n$ è primo allora $n$ è una potenza di $p$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
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erFuricksen
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Re: Primi e potenze di primi

Messaggio da erFuricksen » 23 feb 2016, 21:15

Testo nascosto:
$$(\mbox{quello che hai scritto tu})=\Phi_p (x^n)$$
Supponiamo che esista un primo $q$ diverso da $p$ che divide $n$ , allora dovrebbe valere $$\Phi_p (x^{qk})=\Phi_{pq}(x^k) \Phi_p (x^k) $$ e quindi non sarebbe primo
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

Gerald Lambeau
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Re: Primi e potenze di primi

Messaggio da Gerald Lambeau » 23 feb 2016, 22:20

Buona
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
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Drago96
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Re: Primi e potenze di primi

Messaggio da Drago96 » 23 feb 2016, 23:50

E come si dimostra quella proprietà? :D
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Re: Primi e potenze di primi

Messaggio da erFuricksen » 24 feb 2016, 00:15

Beh se io chiamo $x^k=a$ allora avrò che $\Phi_p (a^q)$ è un polinomio che ha come radici tutte le radici p-esime complesse dell'unità e le radici q-esime di queste ultime (direi che si vede abbastanza ad occhio da come è scritto, poi il fatto che siano due primi ci evita il problema di considerare le primitive, perché l'unica non primitiva è 1); pertanto queste sono le radici rispettivamente dei polinomi $\Phi_p (a)$ e $\Phi_{pq} (a)$
(anzi, il fatto che venga fuori $\Phi_p (a)$ è proprio perché considero la radice 1 non primitiva q-esima ;) )
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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