[Ammissione WC16] Algebra 3: Infiniti polinomi irriducibili?

[Talete]

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Dire se esiste una successione di interi $a_0, a_1, a_2,\ldots$ a due a due primi fra loro e tale che per ogni $n\ge 2$ il polinomio
\[\sum_{k=0}^n a_k\cdot x^k\]
sia irriducibile su $\mathbb{Z}[x]$.

[Federico II]

L'unico dei 12 che ancora non ho fatto
A qualcuno è venuto?

[Saro00]

Qualche admin che mette solo la risposta??

[Nadal21]

Qualche admin che mette solo la risposta??

Mi aggrego alla richiesta e aggiungo: con qualche hint,... magari!

[LucaMac]

Hint:

Testo nascosto:

cosa succede se $a_0 \in \mathbb{P}$ e $|a_0| > \sum_{i=1}^n |a_i|$

Testo nascosto:

e se vi dicessi che considerare $q(x)=x^np(\frac{1}{x})$ è una buona idea?

[karlosson_sul_tetto]

Quel momento figo in cui sei un correttore e puoi spacciare per tue le soluzioni più belle tra quelle trovate

[<enigma>]

Quel momento in cui almeno qualcuno ha fatto i compiti a casa e visto la dimostrazione del criterio di Perron una volta nella vita

[Federico II]

Forse ci sono, linee guida:

Testo nascosto:

Prendiamo gli $a_i$ tutti primi (positivi) e tali che per ogni $i$ valga $a_{i+1}>\sum_{k=1}^{i}{a_k}$, i polinomi sono irriducibili perché per quel fatto noto del Senior sono irriducibili i loro tilde (per chi non ha seguito quella lezione, si tratta (non so il simbolo in latex) di $tilde(p(x))=x^{deg(p(x))}p\left(\frac{1}{x}\right)$, che è $p(x)$ con i coefficienti invertiti).

[Saro00]

Per non lasciare il tutto in sospeso, metto in spoiler un link che aiutava (ovviamente scoperto dopo il messaggio di enigma)

Testo nascosto:

http://yufeizhao.com/olympiad/intpoly.pdf