[Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Talete
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[Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da Talete » 30 dic 2015, 22:47

NON pubblicate la soluzione prima delle 23:59 di oggi!

Sia $n\ge 1$ e sia $A := \{1, 2, 3, \ldots, 2n\}$. Per ogni sottoinsieme $H$ di $A$ composto da $n$ elementi si ordinino gli elementi di $H$ e del suo complementare,
\[h_1 < h_2 < \ldots < h_n;\hspace{1cm} k_1 < k_2 <\ldots < k_n\]
con $H = \{h_1, h_2, \ldots, h_n\}$ e $A = H \cup \{k_1, k_2,\ldots,k_n\}$. Si dimostri che vale
\[\sum_{i=1}^{n} |h_i-k_{n+1-i}|=n^2.\]
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
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AlexThirty
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Re: [Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da AlexThirty » 31 dic 2015, 14:52

In ordine di Hintosita:
Testo nascosto:
Ricordando il significato del valore assoluto $ |h_{i}-k_{n+1-i}|=max(h_{i},k_{n+1-i})-min(h_{i},k_{n+1-i}) $
Testo nascosto:
Cosa possiamo dire di questi massimi e questi minimi tra le coppie, hanno qualche caratteristica particolare a tutti i termini della somma?
Un bresciano esportato nel cremonese

-"Dal palazzo di giustizia di Catania o esci con più soldi di prima, o non esci proprio"
-"Baroni uscirebbe con un Win - Win".
Tutti si mettono a ridere, e allora intuisco che non aveva detto "Weed - Win" come avevo capito.

Talete
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Re: [Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da Talete » 31 dic 2015, 15:11

Ah ok forse ho capito cosa vuoi dire.

Una strada diversa per la soluzione
Testo nascosto:
Induzione up&down
Ed un'altra ancora
Testo nascosto:
Supponiamo di avere $h_x$ e $k_y$ con $h_x=k_y\pm1$. Cosa succede se faccio diventare $k_x$ uno degli $h_i$ e $h_y$ uno dei $k_i$?
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Saro00
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Re: [Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da Saro00 » 31 dic 2015, 18:01

Hint per un'altra strada.
Testo nascosto:
Disponiamo in fila in ordine crescente i numeri.
Colleghiamo con una freccia $ k_i $ e $ h_{n-i+1} $.
Testo nascosto:
Contiamo quante frecce passano per 1, 2, 3 ..
, n (intendo, che hanno un numero minore di i e uno maggiore di i).
Testo nascosto:
Dai, contando in questo modo le frecce stiamo contando i valori assoluti, vero?
Testo nascosto:
Dai casi piú piccoli si vede che il numero di frecce che passano per 1, 2, 3,..., n sono numeri belli e in particolari formano una somma di numeri nota, ah già é proprio la tesi!
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

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Federico II
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Re: [Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da Federico II » 31 dic 2015, 19:50

Altra strada
Testo nascosto:
induzione
Testo nascosto:
$WLOG\ k_n=2n$, togli $h_1$ e $k_n$ e usi l'ipotesi induttiva
Testo nascosto:
Dovrai poi aggiungere $k_n-h_1$ e $1$ per ogni numero minore di $h_1$, fine
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Mountains Drew
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Re: [Ammissione WC16] Algebra 2: Partizioni di insiemi

Messaggio da Mountains Drew » 01 gen 2016, 03:28

Federico II ha scritto:Altra strada
Testo nascosto:
induzione
Testo nascosto:
$WLOG\ k_n=2n$, togli $h_1$ e $k_n$ e usi l'ipotesi induttiva
Testo nascosto:
Dovrai poi aggiungere $k_n-h_1$ e $1$ per ogni numero minore di $h_1$, fine
Phew... Almeno qualcuno che l'ha fatto come me con induzione brutale


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