Somma di quadrati

[Talete]

Dati $(x,y,z)$ tali che $1\le x\le y\le z\le 4$ trovare il minimo valore di:
\[\left(\frac x1-1\right)^2+\left(\frac yx-1\right)^2+\left(\frac zy-1\right)^2+\left(\frac 4z-1\right)^2.\]

[bern-1-16-4-13]

Se poniamo $ \frac{x}{1}=a,\ \ \frac{y}{x}=b,\ \ \frac{z}{y}=c,\ \ \frac{4}{z}=d $ allora $ abcd=4 $.
Vogliamo quindi trovare il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $. Ma per QM-AM fissata la media aritmetica, la media quadratica è minima se $ a-1=b-1=c-1=d-1 $ quindi se $ a=b=c=d $. Ma noi conosciamo la media geometrica. D'altronde anche il caso di uguaglianza AM-GM presuppone $ a=b=c=d $, quindi il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $ si ha per $ a=b=c=d=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} $

[Talete]

Yes! Senza dare nomi a nuove variabili:

\[\left(\frac x1-1\right)^2+\left(\frac yx-1\right)^2+\left(\frac zy-1\right)^2+\left(\frac4z-1\right)^2\ge \frac14\left(\frac x1+\frac yx+\frac zy+\frac 4z -4 \right)^2\ge \frac14\left(4\sqrt[4]{4}-4\right)^2=4\left(\sqrt2-1\right)^2,\]

la prima per QM-AM e la seconda per AM-GM. Caso di uguaglianza: $x=\sqrt2$, $y=2$, $z=2\sqrt2$. Sì, alla fin fine la tua soluzione era uguale

[Talete]

Bonus: e se volessi trovare il massimo?

[Delfad0r]

Consideriamo la seguente generalizzazione.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $x_0\in[1;+\infty)$ fissato. Determinare, al variare di $1\le x_n\le\ldots\le x_1\le x_0$, il massimo valore di
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2
$$

Testo nascosto:

Lemma. Sia $\alpha\in[1;+\infty)$ fissato, e sia $x$ un reale tale che $1\le x\le \alpha$. Allora
$$
(x-1)^2+\left(\frac{\alpha}{x}-1\right)^2\le(\alpha-1)^2
$$
Dimostrazione. Sia $f: [1;\alpha]\to\mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)^2+\left(\frac{\alpha}{x}-1\right)^2$. Allora $f$ è crescente in $[\sqrt{\alpha};\alpha]$, ed è decrescente in $[1;\sqrt{\alpha}]$. Per dimostrare la prima affermazione prendiamo $\sqrt{\alpha}\le u<w\le\alpha$ e dimostriamo che $f(u)<f(w)$:
\begin{align}
f(u)<f(w)&\iff\left(\frac{\alpha}{u}-\frac{\alpha}{w}\right)\left(\frac{\alpha}{u}+\frac{\alpha}{w}-2\right)<(w-u)(w+u-2)\\
&\iff\alpha(w-u)\left(\frac{\alpha}{u}+\frac{\alpha}{w}-2\right)<uw(w-u)(w+u-2)
\end{align}
Ma $\alpha<uw,w-u>0, \frac{\alpha}{u}\le u,\frac{\alpha}{w}<w$, dunque questa disuguaglianza è vera, dunque $f(u)<f(w)$.
In modo assai simile si dimostra che, per $1\le u<w\le\sqrt{\alpha}$, vale $f(u)>f(w)$.
Ma allora (blah blah Weierstrass blah blah) $f$ ha un minimo in $x=\sqrt{\alpha}$, mentre ha due massimi agli estremi del suo dominio, cioè in $x=1$ e in $x=\alpha$; in entrambi i casi vale $f(1)=f(\alpha)=(\alpha-1)^2$, quindi è proprio vero che $f(x)<(\alpha-1)^2$.


Ora andiamo di induzione su $n$, dimostrando che il massimo è $(x_0-1)^2$.

Passo Base. Per $n=1$ dobbiamo trovare il massimo di
$$
(x_1-1)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2
$$
Per il Lemma con $x\leftarrow x_1,\alpha\leftarrow x_0$, vale
$$
(x_1-1)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2\le(x_0-1)^2
$$
ma effettivamente questo valore si può ottenere ponendo $x_1=1$, quindi $(x_0-1)^2$ è il massimo, $q.e.d.$

Passo Induttivo. Supponendo la tesi vera per $n - 1$, dimostriamola per $n$.
Dobbiamo trovare il massimo di
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2
$$
Per il Lemma con $x\leftarrow x_n,\alpha\leftarrow x_{n-1}$, vale
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2\le (x_{n-1}-1)^2
$$
Inoltre, per ipotesi induttiva, vale
$$
(x_{n-1}-1)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2\le(x_0-1)^2
$$
Mettendo insieme queste due cose si trova che
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2\le(x_0-1)^2
$$
Ma effettivamente questo valore si può ottenere ponendo $x_n=x_{n-1}=\ldots=x_1=1$, quindi il massimo è effettivamente $(x_0-1)^2$, $q.e.d.$

Testo nascosto:

Ma wait, io in questo momento dovrei correggere, piuttosto che risolvere problemi...

[gpzes]

se $abcd= costante$ si potrebbe normalizzare , cioè WLOG $a=b=c=1$....e concludere.