Dati $(x,y,z)$ tali che $1\le x\le y\le z\le 4$ trovare il minimo valore di:
\[\left(\frac x1-1\right)^2+\left(\frac yx-1\right)^2+\left(\frac zy-1\right)^2+\left(\frac 4z-1\right)^2.\]
Somma di quadrati
Somma di quadrati
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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- Iscritto il: 23 mag 2015, 18:27
Re: Somma di quadrati
Se poniamo $ \frac{x}{1}=a,\ \ \frac{y}{x}=b,\ \ \frac{z}{y}=c,\ \ \frac{4}{z}=d $ allora $ abcd=4 $.
Vogliamo quindi trovare il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $. Ma per QM-AM fissata la media aritmetica, la media quadratica è minima se $ a-1=b-1=c-1=d-1 $ quindi se $ a=b=c=d $. Ma noi conosciamo la media geometrica. D'altronde anche il caso di uguaglianza AM-GM presuppone $ a=b=c=d $, quindi il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $ si ha per $ a=b=c=d=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} $
Vogliamo quindi trovare il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $. Ma per QM-AM fissata la media aritmetica, la media quadratica è minima se $ a-1=b-1=c-1=d-1 $ quindi se $ a=b=c=d $. Ma noi conosciamo la media geometrica. D'altronde anche il caso di uguaglianza AM-GM presuppone $ a=b=c=d $, quindi il minimo di $ \sum_{cyc}\left(a-1\right)^2 $ si ha per $ a=b=c=d=\sqrt[4]{4}=\sqrt{2} $
Re: Somma di quadrati
Yes! Senza dare nomi a nuove variabili:
\[\left(\frac x1-1\right)^2+\left(\frac yx-1\right)^2+\left(\frac zy-1\right)^2+\left(\frac4z-1\right)^2\ge \frac14\left(\frac x1+\frac yx+\frac zy+\frac 4z -4 \right)^2\ge \frac14\left(4\sqrt[4]{4}-4\right)^2=4\left(\sqrt2-1\right)^2,\]
la prima per QM-AM e la seconda per AM-GM. Caso di uguaglianza: $x=\sqrt2$, $y=2$, $z=2\sqrt2$. Sì, alla fin fine la tua soluzione era uguale
\[\left(\frac x1-1\right)^2+\left(\frac yx-1\right)^2+\left(\frac zy-1\right)^2+\left(\frac4z-1\right)^2\ge \frac14\left(\frac x1+\frac yx+\frac zy+\frac 4z -4 \right)^2\ge \frac14\left(4\sqrt[4]{4}-4\right)^2=4\left(\sqrt2-1\right)^2,\]
la prima per QM-AM e la seconda per AM-GM. Caso di uguaglianza: $x=\sqrt2$, $y=2$, $z=2\sqrt2$. Sì, alla fin fine la tua soluzione era uguale
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Re: Somma di quadrati
Bonus: e se volessi trovare il massimo?
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"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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Re: Somma di quadrati
Consideriamo la seguente generalizzazione.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $x_0\in[1;+\infty)$ fissato. Determinare, al variare di $1\le x_n\le\ldots\le x_1\le x_0$, il massimo valore di
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2
$$
Sia $n$ un intero positivo, e sia $x_0\in[1;+\infty)$ fissato. Determinare, al variare di $1\le x_n\le\ldots\le x_1\le x_0$, il massimo valore di
$$
(x_n-1)^2+\left(\frac{x_{n-1}}{x_n}-1\right)^2+\left(\frac{x_{n-2}}{x_{n-1}}-1\right)^2+\ldots+\left(\frac{x_1}{x_2}-1\right)^2+\left(\frac{x_0}{x_1}-1\right)^2
$$
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: Somma di quadrati
se $abcd= costante$ si potrebbe normalizzare , cioè WLOG $a=b=c=1$....e concludere.