diciture equivalenti

[Nadal21]

Mostrare l'effettiva equivalenza fra il punto $ \mathbb{a} $ e il punto $ \mathbb{b} $ in merito a una funzione sui reali
$ \mathbb{a} $. $ f(x)\geq 0\;\; \forall x \in \mathbb{R} $
$ \mathbb{b} $. $f(x)=p(x)^2+q(x)^2$ per due opportuni $ p,q $ tali che $ \deg p \geq \deg q $

$ f,p,q\in \mathbb{R}[x] $

[Nadal21]

nessun idea?

[matpro98]

C'è la soluzione banale $p (x)=\sqrt {f (x)}; \ q (x)=0 \ \forall x \in \mathbb {R} $

[karlosson_sul_tetto]

Precisiamo: sono funzioni o polinomi?

[Troleito br00tal]

Polinomi

[Nadal21]

Confermo , sono polinomi.

[Mountains Drew]

beh, (b) $\Rightarrow$ (a) è palese, such trivial!

mentre per (a) $\Rightarrow$ (b) :

Testo nascosto:

suppongo (WLOG) $p(x)$ monico.
Scompongo $p(x)$ in fattori irriducibili, quindi di primo o secondo grado siccome siamo in $\mathbb{R}$.

I fattori di secondo grado sono positivi $\forall x \in \mathbb{R}$. (hanno coefficiente di testa=1 e se si azzerassero, allora sarebbero riducibili)
I fattori di primo grado sono invece uno per ogni radice reale del polinomio.
Osservo che le radici reali devono avere tutte molteplicità pari.

Se così non fosse, chiamate $\lambda_1<...<\lambda_k$ le radici, supponendo che $\lambda_i$ abbia molteplicità dispari $d$, nella fattorizzazione compare il fattore $(x-\lambda_i)^d$ che ha segni opposti per $x<\lambda_i$ e $x>\lambda_i$.
Basta prendere $\epsilon$ tale che $\lambda_{i-1}<\lambda_i - \epsilon $ e $\lambda_{i+1}>\lambda_i + \epsilon$, allora $p(\lambda_i + \epsilon)$ e $p(\lambda_i - \epsilon)$ siamo certi che hanno segni opposti (perchè tutti i fattori hanno lo stesso segno tranne $(x-\lambda_i)^d$.

Ora possiamo ricondurci al caso in cui $p(x)$ ha solo fattori di grado 2 irriducibili: per ogni fattore $(x-\lambda)^{2n}$ di $p(x)$ basta infatti porre che $q(x),r(x)$ abbiano come fattore $(x-\lambda)^n$.

Ogni fattore irriducibili di grado 2 si scrive come somma di quadrati:
$x^2+bx+c = \left(x+\frac b2\right)^2 + \left(\sqrt{c-\frac{b^2}4}\right)^2 $ (infatti $c-\frac{b^2}4\geq 0 $ perchè $\Delta<0$ siccome irriducibile)

Il prodotto di somme di 2 quadrati è una somma di 2 quadrati:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac + bd)^2 + (ad-bc)^2$ ($a,b,c,d$ intesi come polinomi)

Quindi (per induzione) $p(x)$ in quanto prodotto di somme di 2 quadrati si può scrivere come somma di 2 quadrati: $q(x)^2 + r(x)^2$

[Mountains Drew]

ah, $f(x)$ l'ho chiamato $p(x)$ e $p(x)$l'ho chiamato $r(x)$, vabeh

[Nadal21]

grazie

[EvaristeG]

Bonus ( ) e in più variabili?