Formula di sottrazione, ma la goniometria non c'entra

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Luca Nalon
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Formula di sottrazione, ma la goniometria non c'entra

Messaggio da Luca Nalon » 09 nov 2015, 23:04

Sto provando ad inventarmi un problema (anche se con tutta probabilità non sarà inedito), ma per farlo devo risolvere questo quesito che si è rivelato essere un problema a sé stante:

Sia $ f $ una funzione definita nell'intervallo $ [0,1[ $ tale che $ f(x):=\frac{x}{1-x} $. Trovare una formula di sottrazione (e anche di addizione volendo) per questa funzione, ovvero una relazione che, conoscendo $ f(a) $ e $ f(b) $, mi permetta di calcolare $ f(\left | a-b \right |) $ senza dover ricorrere alla funzione inversa.

Non so se questa formula esista e quanto brutta possa essere "al minimo", a me interessa particolarmente l'intervallo $ [0,1[ $ ma se possibile provate ad estenderla ad $ \mathbb{R}-\left \{0\right \} $.

Talete
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Re: Formula di sottrazione, ma la goniometria non c'entra

Messaggio da Talete » 10 nov 2015, 17:14

Ehilà!

Wlog $a>b$, ok?

Ti piace come formula questa?

\[f(a-b)=\frac{f(a)-f(b)}{f(a)\cdot f(b)+2\cdot f(b)+1}.\]

Lo so, è piuttosto brutta. Vedila così:

\[x=f(a) \Rightarrow a=\frac{x}{x+1}\hspace{2cm} y=f(b) \Rightarrow b=\frac{y}{y+1}.\]

Ora provo a trovare $f(a-b)$, ok? Tanto ho posto $a>b$...

\[f(a-b)=\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{y}{y+1}}{1-\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}}=\frac{x(y+1)-y(x+1)}{(x+1)(y+1)-x(y+1)+y(x+1)}=\frac{x-y}{xy+2y+1}.\]

Che è quella robaccia che ho scritto sopra. Boh, forse avrò fatto qualche errore di calcolo, mi scuso subito, ma l'idea dovrebbe funzionare.

Ciao ;)
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Luca Nalon
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Re: Formula di sottrazione, ma la goniometria non c'entra

Messaggio da Luca Nalon » 10 nov 2015, 20:10

Ho controllato e funziona perfettamente, tra l'altro con questo metodo si risolvono tutti i quesiti di questo tipo. Ora non resta altro che aspettare, tutti si dimenticheranno di questo topic, e allora risolvere il vero problema sarà molto più difficile :wink:


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