Frazioni di polinomi

[GimmyTomas]

Quando si vuole integrare un rapporto di polinomi $P(x)/Q(x)$, nel caso in cui $\deg P<\deg Q$ e $Q(x)$ sia fattorizzabile in un prodotto di polinomi di primo grado, si spezza la frazione come una somma di frazioni ai cui denominatori compaiono le varie potenze dei fattori di primo grado (in modo da integrare più facilmente ogni termine).
Ad esempio, se $Q(x)=(x-1)(x-2)(x+7)^4(x+1)^2$, si scrive $$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+7}+\frac{D}{(x+7)^2}+\frac{E}{(x+7)^3}+\frac{F}{(x+7)^4}+\frac{G}{x+1}+\frac{H}{(x+1)^2}$$ dove $A$, $B$, $C$, $D$, $E$; $F$, $G$, $H$ sono dei numeri (in generale reali) da trovare sommando tutte le frazioni e applicando il principio di identità dei polinomi (cioè il numeratore deve avere i coefficienti uguali a quelli di $P(x)$), quindi, in questo caso, risolvendo un sistema di $8$ equazioni.
Dimostrare che tale metodo porta sempre a risolvere un sistema determinato, cioè che è sempre possibile spezzare quelle frazioni di polinomi in questo modo.

Ho volutamente lasciato il testo poco formale, per lasciarlo formalizzare e trattare come meglio si vuole, senza, magari, condizionare involontariamente. Se però qualcuno preferisce un testo formale, eccolo:

Testo nascosto:

Sia $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{R}^n$ e $(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in\mathbb{N}^n$, con $\displaystyle \sum_{i=1}^n \beta_i=B$; sia $P(x)\in\mathbb{R}[x]$ tale che $\deg P<B$.
Dimostrare che esistono $B$ numeri reali $A_{i,j}$ tali che $$\frac{P(x)}{\displaystyle\prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)^{\beta_i}}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{\beta_i}\frac{A_{i,j}}{(x-\alpha_i)^j}.$$