OliForum Matematico

Ciao a tutti,
è sempre possibile (per ogni mia scelta di j, k e h) trovare un polinomio a coefficienti interi per cui p(0) = j, p(k) = h e p(h) = k?
Se sì, perché?
Grazie!

Non se $0=h=k\neq j$. Altrimenti, sì (https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation) e se vieni al senior molto probabilmente te lo spiegheremo da qualche parte in algebra

Ok grazie mille!

Uhm siamo sicuri? C'è scritto a coefficienti interi. Ad esempio, $p(0)=1$, $p(2)=4$, $p(4)=2$ non è realizzato da alcun polinomio a coefficienti interi, in quanto servirebbe che $2=(2-0)|p(2)-p(0)=3$ e questo sembra complicato...
Del resto, per tre valori passa un unico polinomio di 2° grado che puoi trovare così: $p(x)=ax^2+bx+c$ sia il polinomio, allora vuoi che
$$\left\{\begin{array}{rcl}c&=&j\\ah^2+bh+c&=&k\\ak^2+bk+c&=&h\end{array}\right.$$
Risolvendo questo sistema, troverai le condizioni su $j,h,k$ di modo che i coefficienti siano interi.

Uh, hai ragione, mi è passato completamente sopra la testa il "coefficienti interi". Ritiro tutto, quello che ho detto vale per coefficienti in un campo (razionali o reali o complessi).