Funzionale (facile) sui naturali

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gi8
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Funzionale (facile) sui naturali

Messaggio da Gi8 »

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ tali che $f(f(n))= f(n+1)-1$ per ogni $n \in \mathbb{N}$

n.b. $\mathbb{N}= \{0,1,2,\ldots\}$
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Lasker
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Re: Funzionale (facile) sui naturali

Messaggio da Lasker »

Testo nascosto:
Innanzitutto definiamo come al solito
$$P(n):= \ \ \ f(f(n))=f(n+1)-1\ \ \forall \ n\in\mathbb{N}$$
Considerando gli insiemi $\mathcal{F}_m:=\{f(m),f(m+1),f(m+2),...\}\subseteq \mathbb{N}$, ognuno degli $\mathcal{F}_m$ dovrà avere un elemento minimo $f(k_m)$ per il principio del minimo intero. Dimostriamo ora che il minimo elemento $f(k_m)$ di $\mathcal{F}_m$ è proprio $f(m)$, e solo lui.
Valutando $P(k_{m}-1)$ si ha:
$$f(f(k_{m}-1))=f(k_{m})-1<f(k_{m})$$
Ma allora abbiamo trovato un valore in cui la $f$ raggiunge un valore minore del minimo di $\mathcal{F}_m$, e che quindi non può appartenere ad $\mathcal{F}_m$, dunque $k_m-1<m$, ma ovviamente vale anche $k_m\geq m$ (perché $f(k_m)\in\mathcal{F}_m$), quindi unendo le due disuguaglianze si ottiene che deve per forza valere $k_m=m$, ovvero, in altre parole, che la $f$ è monotona strettamente crescente.
Supponendo ora che esistano $p,q\in\mathbb{N}$ tale che $f(p)=q\geq p+1$, ci basta valutare $P(p)$ e sfruttare la crescenza della $f$
$$f(f(p))=f(q)\geq f(p+1)\ \ \ \ ; \ \ \ \ f(f(p))=f(p+1)-1<f(p+1)$$
Chiaramente assurdo; dunque $f(n)\leq n\ \ \forall\ n\in\mathbb{N}$, ma allora $0\leq f(0)\leq 0\Rightarrow f(0)=0$ e quindi visto che sfruttando la crescenza si ha anche $f(n)\geq n \ \ \forall \ n\in \mathbb{N}$ (volendo esagerare questo si fa per induzione su $n$) si ottiene l'unica soluzione $f(n)=n\ \forall\ n\in\mathbb{N}$; che banalmente soddisfa.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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