Dubbio su disuguaglianze notevoli

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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DamianoY
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Dubbio su disuguaglianze notevoli

Messaggio da DamianoY » 31 mag 2015, 12:09

Mi è sorto un dubbio:
Sapendo che $y(1+x^2)=2$ (con $x,y$ numeri reali positivi), è possibile trovare il minimo di $\sqrt{y^2+x^2}$ facendo ricorso solo a disuguaglianze tra le medie? (o usando anche altre disuguaglianze note)

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karlosson_sul_tetto
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Re: Dubbio su disuguaglianze notevoli

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 31 mag 2015, 14:53

Medie pesate! :)

AM-GM applicata sulla terna $(y^2, \frac{1+x^2}{2}, \frac{1+x^2}{2})$:
$ \frac{y^2+ \frac{1+x^2}{2}+ \frac{1+x^2}{2}}{3} \geq \sqrt[3]{y^2\cdot \frac{1+x^2}{2} \cdot \frac{1+x^2}{2}}= =\sqrt[3]{\frac{(y(1+x^2))^2}{4}}=\sqrt[3]{\frac{2^2}{4}}=1 $
Quindi
$y^2+1+x^2\geq 3$
$y^2+x^2 \geq 2$
$\sqrt{y^2+x^2} \geq \sqrt{2}$
"Inequality happens"
---
"Chissa se la fanno anche da asporto"

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gpzes
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Re: Dubbio su disuguaglianze notevoli

Messaggio da gpzes » 31 mag 2015, 22:04

Senza nulla togliere a karlosson_sul_tetto … :wink: ..(anche perchè ciò che uso si basa sempre su AM-GM)
$Q(x,y)={{y}^{2}}+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)={{y}^{2}}+{{x}^{2}}+1$ ed il prodotto dei primi tre addendi positivi è costante ${{y}^{2}}\cdot \left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)\cdot \left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)=1$.
Per avere somma minima basta vedere se è possibile ${{y}^{2}}=\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)$per qualche $\left( x,y \right)$ , ossia ${{y}^{6}}=1\Rightarrow y=1\ ,\ {{x}^{2}}+1=2.$
$Q(x,y)={{y}^{2}}+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)+\left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2} \right)={{y}^{2}}+{{x}^{2}}+1\ge 3$.

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