polinomio a coefficienti interi

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Avatar utente
lucada23
Messaggi: 45
Iscritto il: 13 set 2014, 13:20

polinomio a coefficienti interi

Messaggio da lucada23 » 15 mag 2015, 14:14

Determinare il massimo numero di radici intere che può avere un polinomio $ P(x) $ a coefficienti interi tale che $ P(0) $ e $ P(13) $ sono interi dispari.

Avatar utente
lucada23
Messaggi: 45
Iscritto il: 13 set 2014, 13:20

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da lucada23 » 16 mag 2015, 12:42

.. e allora nessun aiuto? nessun idea :?: ..... signori miei é aggghiacciandeeee .... :lol:

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Talete » 16 mag 2015, 12:53

Prova a scrivere tipo $P(0)=2k+1$ e $P(13)=2h+1$. Ora trovati un modo di scrivere $P(x)$ usando queste cose che sai, in modo da trovare:
Testo nascosto:
\[P(x)=x(x-13)Q(x)+\frac2{13}(h-k)x+2k+1.\]
Ora dato questo polinomio, perché non ha radici intere? Boh, ti metto anche la soluzione, ma provaci:
Testo nascosto:
Supponiamo $\alpha$ radice intera. Devi avere \[0=\alpha(\alpha-13)n+\frac2{13}(h-k)\alpha+2k+1\hspace{1cm}(\star)\] dove $n=Q(\alpha)$ è intero (perché $P$ ha coefficienti interi, quindi anche $Q$). Innanzitutto notiamo che $\frac2{13}(h-k)\alpha$ dev'essere intero (perché tutto il resto è intero); ed inoltre dato che $h$, $k$ ed $\alpha$ sono interi, $\frac2{13}(h-k)\alpha$ è pari. Dunque guardiamo $\star$ modulo $2$: se $\alpha$ è pari $\alpha-13$ è dispari, e viceversa. Quindi il primo addendo è sempre pari. Anche il secondo è sempre pari, per quanto detto prima; ed inoltre $2k$ è pari. Quindi si dovrebbe avere $0\equiv1\pmod{2}$, che è falso. Quindi $P$ non ha radici intere.
Non sono sicurissimo, eh!
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Avatar utente
Ratman98
Messaggi: 122
Iscritto il: 24 giu 2014, 13:52
Località: Battipaglia(Sa)

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Ratman98 » 16 mag 2015, 14:48

Rispondo prescindendo dalla soluzione di Talete(che non ho letto) per pura mania di protagonismo :D . Chiamiamo π una qualsiasi radice intera del polinomio. Allora π-0 | p(π)-p(0)= -p(0) ossia π divide un numero dispari e quindi è dispari(sappiamo che lo zero non è soluzione). Ma è pur vero che 13-π | p(13) con (13-π) certamente pari. L'unico numero pari tale da dividere un numero dispari è lo zero. 13-π=0; π=13.

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Talete » 16 mag 2015, 15:05

Ehm... sarà ma mi sembrava che $0$ non dividesse niente (a parte sé stesso)... cioè, $a$ divide $b$ significa "esiste $q$ tale che $qa=b$", ma se $a=0$ si deve avere anche $b=0$...

E poi, dopotutto, se $13$ è soluzione, mi stai dicendo che $P(13)=0$ e inoltre, per ipotesi, $P(13)$ è dispari? ;)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Avatar utente
Ratman98
Messaggi: 122
Iscritto il: 24 giu 2014, 13:52
Località: Battipaglia(Sa)

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Ratman98 » 16 mag 2015, 15:26

Ottime osservazioni... e tutte giuste :roll:. Veramente non so cosa dire.

wall98
Messaggi: 167
Iscritto il: 27 mar 2013, 11:23
Località: Roma

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da wall98 » 16 mag 2015, 17:25

Non ho capito se è stato risolto o no, nell'incertezza ne metto una :D
Testo nascosto:
Prendiamo un numero intero $ \alpha $.
Ora abbiamo che se $ \alpha $ è dispari $ P(\alpha) \equiv P(13) \equiv 1 \pmod 2 $
Se invece è pari $ P(\alpha) \equiv P(0) \equiv 1 \pmod 2 $
Perciò il polinomio è sempre dispari, quindi non è mai 0, cioè non esistono radici intere.
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

Talete
Messaggi: 744
Iscritto il: 05 giu 2014, 13:47
Località: Riva del Garda

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Talete » 16 mag 2015, 18:22

wall98 ha scritto:Non ho capito se è stato risolto o no, nell'incertezza ne metto una :D
Sì, era stato risolto da entrambi (Ratman aveva fatto un solo errore, ma sostanzialmente la dimostrazione era corretta) ;) Comunque è interessante vedere che in tre persone diverse abbiamo pensato a tre soluzioni diverse :)
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo

Avatar utente
lucada23
Messaggi: 45
Iscritto il: 13 set 2014, 13:20

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da lucada23 » 16 mag 2015, 18:46

Grazie a tutti. :D

Avatar utente
Ratman98
Messaggi: 122
Iscritto il: 24 giu 2014, 13:52
Località: Battipaglia(Sa)

Re: polinomio a coefficienti interi

Messaggio da Ratman98 » 16 mag 2015, 19:56

:wink: Talete.

Rispondi